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怎樣建立非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題的質(zhì)點(diǎn)模型
怎樣建立非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題的質(zhì)點(diǎn)模型
質(zhì)點(diǎn)模型，是用一個(gè)具有同樣質(zhì)量，但沒(méi)有大小和形狀的點(diǎn)來(lái)代替實(shí)際物體，這是對(duì)實(shí)際物體的一種科學(xué)抽象。物體的形狀和大小對(duì)所研究的問(wèn)題不起作用或起次要作用是一個(gè)物體能否抽象為質(zhì)點(diǎn)的依據(jù)。有些問(wèn)題中的物體不滿足此條件，如何將其抽象為質(zhì)點(diǎn)，并按質(zhì)點(diǎn)模型求解呢？
1. 提取質(zhì)點(diǎn)
若物體各部分的運(yùn)動(dòng)情況相同，則可在物體中取一質(zhì)點(diǎn)，將物體的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
例1. 某人站在高樓頂拿住細(xì)桿的上端使之與樓頂同高，讓桿自然懸垂，使桿從靜止釋放自由下落，某層樓內(nèi)有一個(gè)人在室內(nèi)用攝像機(jī)恰巧攝下了細(xì)桿通過(guò)窗口的過(guò)程，并從錄像中發(fā)現(xiàn)細(xì)桿出現(xiàn)在窗口的時(shí)間t＝1s，若該窗口高度，窗口上沿到樓頂距離，試問(wèn)桿的長(zhǎng)度L為多少？
分析：作出細(xì)桿通過(guò)窗口的過(guò)程示意圖如圖1所示，桿從a處自由下落至b處時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)在窗口，至c處時(shí)完全通過(guò)窗口。由圖知，桿通過(guò)窗口過(guò)程中，桿下落距離為。若把桿當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理，則桿下落距離為窗高h(yuǎn)，這顯然是不正確的。因此在此題中不能忽略桿的長(zhǎng)度，不能把桿抽象成質(zhì)點(diǎn)處理。
圖1
由于桿中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同，可在桿中任取一點(diǎn)（常取桿的端點(diǎn)）來(lái)研究，從而將桿的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
設(shè)桿頂端為質(zhì)點(diǎn)A，A從樓頂自由下落，從下落了H1開(kāi)始，到下落了H2的過(guò)程，即為桿通過(guò)窗口的過(guò)程。
代入數(shù)據(jù)得L＝13m
2. 置換質(zhì)點(diǎn)
例2. 如圖2所示，具有圓錐形狀的回轉(zhuǎn)器（陀螺），繞它的軸在光滑的桌面上以角速度快速旋轉(zhuǎn)，同時(shí)以速度v向左運(yùn)動(dòng)，若回轉(zhuǎn)器的軸一直保持豎直，為使回轉(zhuǎn)器從桌子的邊緣滑出時(shí)不會(huì)與桌子邊緣發(fā)生碰撞，速度v至少應(yīng)等于（設(shè)回轉(zhuǎn)器的高為H，底面半徑為R，不計(jì)空氣對(duì)回轉(zhuǎn)器的作用）（）
圖2
A. B. C. D.
分析：若以回轉(zhuǎn)器為研究對(duì)象，在其形狀的影響下，問(wèn)題將變得很復(fù)雜。
取回轉(zhuǎn)器為參照物，以桌子邊緣為研究對(duì)象，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖3所示的情景：質(zhì)點(diǎn)A（桌子邊緣）從回轉(zhuǎn)器的頂點(diǎn)以向右的初速度v，向上的加速度g，做類平拋運(yùn)動(dòng)，要使A不落在回轉(zhuǎn)器的邊上，v至少應(yīng)等于多少？
圖3
由，解得
選D
例3. 一列火車做勻變速直線運(yùn)動(dòng)駛來(lái)，一個(gè)人在軌道旁觀察列車，發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)10s內(nèi)，列車從他跟前駛過(guò)8節(jié)和6節(jié)車廂，每節(jié)車廂長(zhǎng)8m，且連接處長(zhǎng)度不計(jì)，求火車的加速度和人開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)火車的速度大小。
分析：本題研究火車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但火車在此情景中不能看作質(zhì)點(diǎn)。
同前題，變換研究對(duì)象，以火車為參考系，研究人相對(duì)火車的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)人可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖4所示的情景：質(zhì)點(diǎn)向左做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，依次通過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且
圖4
則由
其中
解得
又由
得
3. 虛構(gòu)質(zhì)點(diǎn)
例4. 試管中裝入血液，封住管口后，將此試管固定在轉(zhuǎn)盤(pán)上，發(fā)現(xiàn)試管中有一小氣泡，如圖5所示，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)以一定角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，氣泡相對(duì)于試管將如何運(yùn)動(dòng)？
分析：設(shè)想血液充滿整個(gè)試管，則轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，管內(nèi)血液相對(duì)試管靜止。取原氣泡處的血液為研究對(duì)象，得。
將此處血液換作氣泡后，周圍血液及試管對(duì)該氣泡的合外力不變，但氣泡的質(zhì)量小于血液的質(zhì)量，所以有，則氣泡將向轉(zhuǎn)盤(pán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)。
4. 等效質(zhì)點(diǎn)
通過(guò)類比，得到等效質(zhì)點(diǎn)，再研究等效模型。
例5. 如圖6所示，在秋收的打谷場(chǎng)上，脫粒后的谷粒用傳送帶送到平地上堆積起來(lái)形成圓錐體，隨著堆積的谷粒越來(lái)越多，圓錐體體積越來(lái)越大，用力學(xué)知識(shí)可分析得出，圓錐體底角的變化情況應(yīng)該是（）
A. 保持不變 B. 不斷增大
C. 不斷減小 D. 先增大后減小
分析：此題若能聯(lián)想到如圖7所示（物體靜止于斜面上）的模型，則不難選出正確答案。
圖7
當(dāng)物體靜止在粗糙斜面上時(shí)，對(duì)物體分析受力可得：
得
所以物體恰能靜止在斜面上的臨界條件為：，與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)。
通過(guò)兩模型的類比即知：隨著谷粒的增多，臨界角（即圓錐體的底角）不變，選A。
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