一元二次方程求根公式
人們從古埃及的數(shù)學(xué)紙草書和古巴比倫的數(shù)學(xué)泥版書上了解到,大約在距今三千七八百年以前,人類就會(huì)解一元一次方程。以下是小編整理的關(guān)于一元二次方程求根公式,希望大家認(rèn)真閱讀!
對(duì)于受過九年制義務(wù)教育的人來說,一元二次方程是非常熟悉的內(nèi)容。我們能解任何一個(gè)一元二次方程(包括判定一個(gè)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根),原因是我們掌握了一元二次方程的求根公式。我們現(xiàn)在所學(xué)的一元二次方程求根公式,在一千多年漫長的歷史中,曾經(jīng)隨著數(shù)的范圍的擴(kuò)大、概念的建立和嚴(yán)密而不斷地演變和完善。
一元二次方程的出現(xiàn),有很久的歷史。最早的記錄是在公元前兩千年左右的巴比倫泥版書中,其中有相當(dāng)于解二次方程x2-5x+6=0的問題,并指出方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)。這大概是世界上最古老的完全二次方程的實(shí)例之一。據(jù)數(shù)學(xué)史記載,巴比倫人會(huì)求出方程x2+px=q(p、q為正數(shù))的根為x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希臘的著作中也能見到有關(guān)二次方程解的記錄。二世紀(jì)的著名幾何學(xué)家海倫已了解了數(shù)值處理的方法,海倫還用近似法求解方程。由于古希臘人不承認(rèn)負(fù)數(shù),那時(shí)也沒有發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù),于是海倫所用過的是錯(cuò)誤公式子 x=√](4ac-b)-b]/2a。
我國古代數(shù)學(xué)家在一元二次方程和二次方程的解的方面有著突出的成果,作出過不朽的貢獻(xiàn)。公元三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙君卿注《周髀算經(jīng)》時(shí),不僅提出二次方程,而且在有關(guān)二次方程的解中,我們發(fā)現(xiàn)有求根公式的雛形。趙君卿在《周髀算經(jīng)》的注文中有一篇有名的論文“勾股圓方圖注”,論文的內(nèi)容主要是用幾何方法證明勾股定理,但其中有一段是關(guān)于二次方程解法的論述:“其倍弦(2c1)為廣袤合(x1+x2),而令勾股見者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)為實(shí),四實(shí)以減之(2c1)2-4a12開其余,所得為差√[(2c1)-4a1]=x2-x1,以差減合,半其余為廣”,最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2,這是二次方程x2-2c1x+a12=0的一個(gè)根。若將方程改為x2-bx+c=0的形式,這上面的公式就變?yōu)閤=[b-√(b-4c)]/2的樣子了。這正是首項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的二次方程x2-bx+c=0的一個(gè)根的表達(dá)式。
特別要指出的是,上文中“其倍弦為廣袤合,而令勾股見者自乘為實(shí)”,這兩句話論述的就是根與系數(shù)的關(guān)系,相當(dāng)于“韋達(dá)定理”。而韋達(dá)是十六世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家,他的結(jié)果大約比趙君卿晚一千三百年左右。
我國南北朝時(shí)成書的《張丘建算經(jīng)》中有二次方程問題二則,由于書的殘缺和敘述的簡略,無法知道其解法。
公元八世紀(jì)我國著名的天文學(xué)家僧一行(683年—723年)由于研究歷法,而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0,c>0),他用公式x==[√(b-4c)-b]/2來求一個(gè)根。
宋代劉益著《益古根源》,對(duì)二次方程求解做了進(jìn)一步的工作,可解二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的.二次方程。
到了秦九韶著《數(shù)書九章》時(shí),我國數(shù)學(xué)家已掌握了形如x2±px±q=0(p>0,q>0)的二次方程的解法。
公元十三世紀(jì)楊輝所作的“田畝比類乘除捷法”一書中,詳載多種解二次方程的方法,他發(fā)展了趙爽的方法,提出解二次方程的“四圓積步”法。
元代朱世杰在他的“算學(xué)啟蒙”中也用過求根公式。
在長期的研究中,人們逐步認(rèn)識(shí)到:1。二次方程有兩個(gè)根;2?砂褍蓚(gè)根用方程的系數(shù)的運(yùn)算公式表示出來。
公元九世紀(jì),完全二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式(即現(xiàn)在所用的形式)第一次在烏茲別克著名數(shù)學(xué)家買買提·本·牟徹·花拉子模的《代數(shù)學(xué)》中出現(xiàn),《代數(shù)學(xué)》里系統(tǒng)地討論了6種類型的一次或二次方程的解法,并講了配平方法,同時(shí)指出,通過“復(fù)原”與“對(duì)消”兩種變換,所有其它形式的一次、二次方程都能化成這6種類型的方程。他提出的“復(fù)原”與“對(duì)消”即今天的移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)。但是對(duì)于求根公式的運(yùn)用有所限制。因?yàn),雖然他知道二次方程有兩個(gè)根,但是他只取正根,放棄負(fù)根和零。另外,這個(gè)公式出現(xiàn)以后的幾個(gè)世紀(jì)內(nèi),人們還沒有認(rèn)識(shí)虛數(shù),所以凡遇到b2-4ac<0時(shí),就認(rèn)為問題不可能有解;ɡ幽1救艘矡o例外地具有這種看法。
十三世紀(jì)后,二次方程發(fā)展的重心又轉(zhuǎn)向了歐洲,較早的是意大利學(xué)者斐波那契。1202年,他在介紹東方的二次方程理論時(shí)引入了二次方程可以有無理數(shù)根的思想。實(shí)際上,虛數(shù)也是在二次方程求解研究中產(chǎn)生的,可見,二次方程求根問題的研究對(duì)數(shù)的擴(kuò)張有重要的促進(jìn)作用。
十六世紀(jì)50年代,法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理。1707年,英國著名科學(xué)家牛頓建立了關(guān)于二次方程的一系列知識(shí),給出了二次方程的根與判別式的關(guān)系。
1768年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉出版的《代數(shù)學(xué)入門》一書給出了現(xiàn)在我們中學(xué)課本中列出的一般二次方程的求根公式。
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一元二次方程的出現(xiàn),有很久的歷史。最早的記錄是在公元前兩千年左右的巴比倫泥版書中,其中有相當(dāng)于解二次方程x2-5x+6=0的問題,并指出方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)。這大概是世界上最古老的完全二次方程的實(shí)例之一。據(jù)數(shù)學(xué)史記載,巴比倫人會(huì)求出方程x2+px=q(p、q為正數(shù))的根為x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希臘的著作中也能見到有關(guān)二次方程解的記錄。二世紀(jì)的著名幾何學(xué)家海倫已了解了數(shù)值處理的方法,海倫還用近似法求解方程。由于古希臘人不承認(rèn)負(fù)數(shù),那時(shí)也沒有發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù),于是海倫所用過的是錯(cuò)誤公式子 x=√](4ac-b)-b]/2a。
我國古代數(shù)學(xué)家在一元二次方程和二次方程的解的方面有著突出的成果,作出過不朽的貢獻(xiàn)。公元三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙君卿注《周髀算經(jīng)》時(shí),不僅提出二次方程,而且在有關(guān)二次方程的解中,我們發(fā)現(xiàn)有求根公式的雛形。趙君卿在《周髀算經(jīng)》的注文中有一篇有名的論文“勾股圓方圖注”,論文的內(nèi)容主要是用幾何方法證明勾股定理,但其中有一段是關(guān)于二次方程解法的論述:“其倍弦(2c1)為廣袤合(x1+x2),而令勾股見者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)為實(shí),四實(shí)以減之(2c1)2-4a12開其余,所得為差√[(2c1)-4a1]=x2-x1,以差減合,半其余為廣”,最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2,這是二次方程x2-2c1x+a12=0的一個(gè)根。若將方程改為x2-bx+c=0的形式,這上面的公式就變?yōu)閤=[b-√(b-4c)]/2的樣子了。這正是首項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的二次方程x2-bx+c=0的一個(gè)根的表達(dá)式。
特別要指出的是,上文中“其倍弦為廣袤合,而令勾股見者自乘為實(shí)”,這兩句話論述的就是根與系數(shù)的關(guān)系,相當(dāng)于“韋達(dá)定理”。而韋達(dá)是十六世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家,他的結(jié)果大約比趙君卿晚一千三百年左右。
我國南北朝時(shí)成書的《張丘建算經(jīng)》中有二次方程問題二則,由于書的殘缺和敘述的簡略,無法知道其解法。
公元八世紀(jì)我國著名的天文學(xué)家僧一行(683年—723年)由于研究歷法,而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0,c>0),他用公式x==[√(b-4c)-b]/2來求一個(gè)根。
宋代劉益著《益古根源》,對(duì)二次方程求解做了進(jìn)一步的工作,可解二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的二次方程。
到了秦九韶著《數(shù)書九章》時(shí),我國數(shù)學(xué)家已掌握了形如x2±px±q=0(p>0,q>0)的二次方程的解法。
公元十三世紀(jì)楊輝所作的“田畝比類乘除捷法”一書中,詳載多種解二次方程的方法,他發(fā)展了趙爽的方法,提出解二次方程的“四圓積步”法。
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在長期的研究中,人們逐步認(rèn)識(shí)到:1。二次方程有兩個(gè)根;2?砂褍蓚(gè)根用方程的系數(shù)的運(yùn)算公式表示出來。
公元九世紀(jì),完全二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式(即現(xiàn)在所用的形式)第一次在烏茲別克著名數(shù)學(xué)家買買提本·牟徹·花拉子模的《代數(shù)學(xué)》中出現(xiàn),《代數(shù)學(xué)》里系統(tǒng)地討論了6種類型的一次或二次方程的解法,并講了配平方法,同時(shí)指出,通過“復(fù)原”與“對(duì)消”兩種變換,所有其它形式的一次、二次方程都能化成這6種類型的方程。他提出的“復(fù)原”與“對(duì)消”即今天的移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)。但是對(duì)于求根公式的運(yùn)用有所限制。因?yàn),雖然他知道二次方程有兩個(gè)根,但是他只取正根,放棄負(fù)根和零。另外,這個(gè)公式出現(xiàn)以后的幾個(gè)世紀(jì)內(nèi),人們還沒有認(rèn)識(shí)虛數(shù),所以凡遇到b2-4ac<0時(shí),就認(rèn)為問題不可能有解;ɡ幽1救艘矡o例外地具有這種看法。
十三世紀(jì)后,二次方程發(fā)展的重心又轉(zhuǎn)向了歐洲,較早的是意大利學(xué)者斐波那契。1202年,他在介紹東方的二次方程理論時(shí)引入了二次方程可以有無理數(shù)根的思想。實(shí)際上,虛數(shù)也是在二次方程求解研究中產(chǎn)生的,可見,二次方程求根問題的研究對(duì)數(shù)的擴(kuò)張有重要的促進(jìn)作用。
十六世紀(jì)50年代,法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理。1707年,英國著名科學(xué)家牛頓建立了關(guān)于二次方程的一系列知識(shí),給出了二次方程的根與判別式的關(guān)系。
1768年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉出版的《代數(shù)學(xué)入門》一書給出了現(xiàn)在我們中學(xué)課本中列出的一般二次方程的求根公式。
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