一、選擇題:1 8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.
(1) 下列反常積分收斂的是 ( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，則 .
(2) 函數(shù) 在 內(nèi)( )
(A) 連續(xù)
(B) 有可去間斷點
(C) 有跳躍間斷點
(D) 有無窮間斷點
【答案】(B)
【解析】 ， ，故 有可去間斷點 .
(3) 設(shè)函數(shù) ,若 在 處連續(xù)則:( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(A)
【解析】 時， 時， 在 處連續(xù)則： 得 得： ，答案選擇A
(4)設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)，其中二階導數(shù) 的圖形如圖所示，則曲線 的拐點的個數(shù)為( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)
【解析】根據(jù)圖像觀察存在兩點，二階導數(shù)變號.則拐點個數(shù)為2個.
(5) 設(shè)函數(shù) 滿足 ，則 與 依次是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】此題考查二元復(fù)合函數(shù)偏導的求解.
令 ，則 ，從而 變?yōu)?/p>
.故 ，
因而 .故選(D).
(6)設(shè) 是第一象限由曲線 ， 與直線 ， 圍成的平面區(qū)域，函數(shù) 在 上連續(xù)，則 ( )
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】(B)
【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標系下計算該二重積分的積分區(qū)域為 所以
故選B.
(7) 設(shè)矩陣 , .若集合 ，則線性方程組 有無窮多解的充分必要條件為 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，
由 ，故 或 ，同時 或 .故選(D)
(8) 設(shè)二次型 在正交變換 下的標準形為 ，其中 ，若 則 在正交變換 下的標準形為( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
由已知可得 故 所以 .選(A)
二、填空題：9 14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.
(9) 則
【答案】48
【解析】 .
(10)函數(shù) 在 處的 階導數(shù) _________
【答案】 【解析】根據(jù)萊布尼茨公式得：
(11) 設(shè) 連續(xù)， ，若 ，則
【答案】 【解析】 已知 ，求導得 ，故有 則 .
(12)設(shè)函數(shù) 是微分方程 的解，且在 處 取得極值3，則 = .
【答案】 【解析】由題意知： ， ，由特征方程： 解得 所以微分方程的通解為： 代入 ， 解得： 解得： (13)若函數(shù) 由方程 確定，則 = .
【答案】 【解析】當 時 ，則對該式兩邊求偏導可得 .將(0,0,0)點值代入即有
則可得 (14) 若 階矩陣 的特征值為 ， ，其中 為 階單位陣，則行列式 .
【答案】21
【解析】 的所有特征值為 的所有特征值為 所以 .
三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15) (本題滿分10分)
設(shè)函數(shù) ， .若 與 在 時是等價無窮小，求 的值.
【答案】 【解析】
方法一：
因為 ， ，
那么，
，
可得： ，所以， .
方法二：
由題意得
由分母 ，得分子 ，求得c;
于是 由分母 ，得分子
，
求得 ;
進一步，b值代入原式
，求得 (16) (本題滿分10分)
設(shè)A>0，D是由曲線段 及直線 ， 所圍成的平面區(qū)域， ， 分別表示D繞 軸與繞 軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積，若 ，求A的值.
【答案】 【解析】由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得
由題 求得 (17) (本題滿分11分)
已知函數(shù) 滿足 ， ， ，求 的極值.
【答案】極小值 【解析】 兩邊對y積分，得
，
故 ，
求得 ，
故 ，兩邊關(guān)于x積分，得
由 ，求得 所以 .
令 ，求得 .
又 ，
， ，
當 時， ，
為極小值.
(18) (本題滿分10分)
計算二重積分 ，其中 【答案】 【解析】 (19)(本題滿分 11 分)
已知函數(shù) ，求 零點的個數(shù)?
【答案】 個
【解析】 令 ,得駐點為 ,
在 , 單調(diào)遞減,在 , 單調(diào)遞增
故 為唯一的極小值,也是最小值.
而 在 , ,故 從而有 考慮 ，所以 .
所以函數(shù) 在 及 上各有一個零點，所以零點個數(shù)為2.
(20) (本題滿分10分)
已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻該物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為 的物體在 的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降至 ，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至 ，還需冷卻多長時間?
【答案】 【解析】設(shè) 時刻物體溫度為 ，比例常數(shù)為 ，介質(zhì)溫度為 ,則
，從而 ，
，所以 ，即 又 所以 ，所以 當 時， 1，所以還需要冷卻30min.
(21) (本題滿分10分)
已知函數(shù) 在區(qū)間 上具有2階導數(shù)， ， ， ，設(shè) ，曲線 在點 處的切線與 軸的交點是 ，證明 .
【證明】根據(jù)題意得點 處的切線方程為 令 ，得 因為 所以 單調(diào)遞增，又因為 所以 ，又因為 所以 又因為 ，而在區(qū)間(a,b)上應(yīng)用拉格朗日中值定理有
所以 因為 所以 單調(diào)遞增
所以 所以 ，即 ，所以 ，結(jié)論得證.
(22) (本題滿分 11 分)