2015年碩士學位研究生招生考試業(yè)務(wù)課考試大綱

　　考試科目： 數(shù)學分析 代碼： 601

　　考試基本要求

　　考察考生掌握《數(shù)學分析》的基本內(nèi)容和方法的熟練程度。

　　考試基本內(nèi)容

　　第一章 實數(shù)集與函數(shù)

　　1實數(shù)：實數(shù)及性質(zhì);絕對值與不等式.

　　2數(shù)集

 

　　確界原理：區(qū)間與鄰域;有界集與無界集;上確界與下確界，確界原理.

　　3函數(shù)概念：函數(shù)定義;函數(shù)的幾種常用表示;函數(shù)四則運算;復(fù)合函數(shù);反函數(shù);初等函數(shù).

　　4具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，無界函數(shù);單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增(減)函數(shù)，嚴格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)與反函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù);周期函數(shù)，基本周期.

　　第二章　數(shù)列極限

　　1極限概念：數(shù)列，通項;數(shù)列極限定義，數(shù)列的收斂與發(fā)散性;無窮小數(shù)列.

　　2收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性;有界性;保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算;歸結(jié)原則.

　　3數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界定理;柯西收斂準則.

　　第三章　函數(shù)極限

　　1函數(shù)極限的概念：函數(shù)極限的幾種形式;左、右極限.

　　2函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性;局部有界性;局部保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算.

　　3函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則(Heine定理);柯西準則.

　　4兩個重要極限：

　　5無窮小量與無窮大量：無窮小量與階的比較、高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮小量;無窮大量;曲線的漸近線(斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線).

　　第四章 函數(shù)連續(xù)

　　1函數(shù)連續(xù)性概念：函數(shù)的點連續(xù)性、左(右)連續(xù)性概念與極限之間的關(guān)系;間斷點及其分類[第一類間斷點(可去間斷點，跳躍間斷點)，第二類間斷點];區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).

　　2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的的局部性質(zhì)(局部有界性、局部保號性、四則運算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性);有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續(xù)性定理);反函數(shù)的連續(xù)性.

　　3初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)的連續(xù)性;初等函數(shù)的連續(xù)性.

　　第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

　　1導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù);導(dǎo)函數(shù);導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

　　2求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運算;反函數(shù)導(dǎo)數(shù);復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈式法則、對數(shù)求導(dǎo)法);基本導(dǎo)數(shù)法則與公式.

　　3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

　　4高階導(dǎo)數(shù)：萊布尼茨公式.

　　5微分：微分的概念;微分運算法則;高階微分;微分在近似計算中的應(yīng)用.

　　第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

　　1拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調(diào)函數(shù).

　　2柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限.

　　3泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式;帶有拉格朗日余項的泰勒公式;在近似計算上的應(yīng)用.

　　4函數(shù)的極值與最值：極值判別;最大值與最小值.

　　5函數(shù)的凸性與拐點：凸函數(shù)與凹函數(shù);嚴格凸函數(shù)與嚴格凹函數(shù);拐點.

　　6函數(shù)作圖：函數(shù)作圖的一般程序.

　　7方程的近似解：牛頓切線法.

　　第七章　實數(shù)完備性

　　1實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套與閉區(qū)間套定理;聚點與聚點定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調(diào)有界定理;柯西收斂準則.

　　2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續(xù)性定理.

　　3上極限與下極限：最小聚點與下極限;最大聚點與上極限.

　　第八章 不定積分

　　1不定積分概念與基本積分公式：原函數(shù)與不定積分;基本積分表;不定積分的線性運算法則.

　　2換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法.

　　3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)的積分;部分分式;幾類可化為有理函數(shù)的積分.

　　第九章　定積分

　　1定積分的概念：問題的提出;定積分的定義.

　　2牛頓—萊布尼茲公式.

　　3可積條件：可積的必要條件;達布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數(shù)類.

　　4定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì);積分(第一)中值定理.

　　5微積分學基本定理

 

　　定積分計算(續(xù))：變限積分與原函數(shù)的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法.

　　第十章　定積分的應(yīng)用：微元法;平面圖形面積計算;已知平行截面面積求體積;平面曲線弧長與曲率;旋轉(zhuǎn)曲面的面積;定積分在物理中的某些應(yīng)用(液體靜壓力、引力、功與平均功率等).

　　第十一章　反常積分

　　1反常積分概念：無窮限反常積分與收斂的定義;瑕點;無界函數(shù)反常積分(瑕積分)與收斂的定義.

　　2無窮限反常積分的性質(zhì)與收斂判別：無窮限反常積分的性質(zhì);絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

　　3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別：瑕積分的性質(zhì);絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

　　第十二章　數(shù)項級數(shù)

　　1級數(shù)的斂散性：數(shù)項級數(shù)斂散性概念;級數(shù)收斂的柯西收斂準則與收斂級數(shù)的若干性質(zhì).

　　2正項級數(shù)：正項級數(shù)收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法.

　　3一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法;絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì);阿貝爾判別法與狄利克雷判別法.

　　第十三章　函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

　　1一致收斂性：函數(shù)列及其一致收斂性概念與判別法;函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂概念與判別法.

　　2一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性;可微(導(dǎo))性;可積性.

　　第十四章　冪級數(shù)

　　1冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域;冪級數(shù)的性質(zhì);冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項可導(dǎo)(微)、逐項可積問題.