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數(shù)控機(jī)床誤差分析技術(shù)問題的研究(一)
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緒 論
1.1課題的提出與意義
數(shù)控機(jī)床是制造業(yè)實現(xiàn)自動化、柔性化、集成化生產(chǎn)的基礎(chǔ)，其水平的高低和擁有量多少是衡量一個國家工業(yè)現(xiàn)代化的重要標(biāo)志。工業(yè)發(fā)達(dá)國家把數(shù)控機(jī)床視為具有高技術(shù)附加值和高利潤的重要出口產(chǎn)品。數(shù)控機(jī)床已成為關(guān)系到國家戰(zhàn)略地位和體現(xiàn)國家綜合國力的重要基礎(chǔ)性產(chǎn)品[1]。高速、高精度是數(shù)控機(jī)床發(fā)展的一個主要方面，據(jù)統(tǒng)計從上世紀(jì)中葉至今的50年里，機(jī)床的加工精度每隔8年就提高一倍[2]。隨著數(shù)控加工技術(shù)的廣泛應(yīng)用，對數(shù)控加工精度的要求日益提高。對工廠而言，提高產(chǎn)品質(zhì)量在一定程度上意味著需要淘汰一批精度低的現(xiàn)有機(jī)床，但這對我國大多數(shù)數(shù)控機(jī)床用戶來說是一筆不小的投入。若維持現(xiàn)有設(shè)備成本，很可能無法滿足用戶對數(shù)控機(jī)床精度的要求，若從根本上提高數(shù)控機(jī)床的制造精度，無疑將導(dǎo)致生產(chǎn)成本的大幅度上升，影響用戶購買的積極性。針對我國數(shù)控機(jī)床生產(chǎn)和應(yīng)用的具體情況，如何經(jīng)濟(jì)有效的提高數(shù)控機(jī)床的精度是一個極有研究價值的課題。
在研究影響加工精度的因素時，應(yīng)當(dāng)對機(jī)械加工的全過程進(jìn)行分析。分析表明，影響加工精度的誤差主要有幾何誤差和動誤差兩個方面。幾何誤差包括加工原理誤差、工件的裝夾誤差、調(diào)整誤差、刀具誤差、機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)誤差、機(jī)床導(dǎo)軌導(dǎo)向誤差和機(jī)床傳動誤差。動誤差包括測量誤差、刀具磨損、工藝系統(tǒng)受力變形，工藝系統(tǒng)受熱變形、工件殘余應(yīng)力引起的變形。其中，幾何誤差和由溫度引起的誤差占機(jī)床總誤差的70%[3]。
在機(jī)械制造業(yè)中，被加工零件的尺寸精度、形狀精度和相對位置精度是機(jī)械加工精度的重要指標(biāo)。為了提高機(jī)床加工精度，各國學(xué)者作了大量的深入，提出了很多行之有效的方法�？v觀這些方法，可以將他們分為兩大類：誤差防止法和誤差補(bǔ)償法[3，4]。
誤差防止法是通過提高機(jī)床零部件的加工與裝配精度，加大機(jī)床系統(tǒng)的剛度以及嚴(yán)格控制機(jī)械加工環(huán)境等方法來提高機(jī)械加工精度，即在制造和設(shè)計過程中來消除可能的誤差源。該方法有一個致命的弱點，即機(jī)床的性能與造價成幾何級數(shù)關(guān)系增長。同時，由于數(shù)控機(jī)床的機(jī)構(gòu)復(fù)雜，零部件非常之多，機(jī)床的工況復(fù)雜等問題，使得單純采用誤差防止法來提高機(jī)床的加工精度是十分困難的。
誤差補(bǔ)償法是通過分析影響加工精度的不同誤差來源，建立空間誤差數(shù)學(xué)模型，利用前饋預(yù)報技術(shù)對機(jī)械系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正，從而提高機(jī)械加工精度。該方法可用普通的機(jī)床加工出高精度的產(chǎn)品，實現(xiàn)“不使用精密加工設(shè)備的精密加工”[5]。因此，非常適合于我國制造工業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀：即工業(yè)底子薄，中、低檔數(shù)控設(shè)備比率較大，且在短期內(nèi)難以對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行大量的更新和改造[6]。我國工業(yè)基礎(chǔ)差，與發(fā)達(dá)國家有很大差距，再加上資金少，使用的數(shù)控設(shè)備檔次較底，基本上都是中底檔數(shù)控設(shè)備，且難以對現(xiàn)有的設(shè)備進(jìn)行大量的更新和改造。而誤差補(bǔ)償技術(shù)的最大的特點就是在無需大量投入資金的情況下提高加工精度，創(chuàng)造更大的效益。誤差補(bǔ)償技術(shù)對我國機(jī)械制造業(yè)的發(fā)展意義更為重要。攻克誤差補(bǔ)償技術(shù)難關(guān)，進(jìn)而進(jìn)行廣泛推廣，這肯定會使我國機(jī)械行業(yè)整體質(zhì)量有很大的提高，創(chuàng)造巨大的經(jīng)濟(jì)效益。因此，對誤差補(bǔ)償技術(shù)的深入研究與應(yīng)用，不僅有利于我們跟蹤世界前沿課題，達(dá)到技術(shù)領(lǐng)先優(yōu)勢，而且更重要的是，該項工作是我國機(jī)械行業(yè)目前亟待解決的關(guān)鍵課題之一[4]。
綜上所述，對數(shù)控機(jī)床誤差分析技術(shù)問題的研究，不僅有利于我們跟上世界前沿的課題，而且更重的是，針對我國制造業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀，對機(jī)床加工工件精度的提高提供了重要的技術(shù)方法，對我國制造業(yè)加工現(xiàn)狀有很明顯的經(jīng)濟(jì)效益，對我國的經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展提供了新的動力。
1.2 課題研究的背景綜述
機(jī)床精度的高低是用誤差來衡量的。一般的說，數(shù)控機(jī)床機(jī)械部件主要由床身、立柱、轉(zhuǎn)軸、拖板、工作臺及傳動部件組成。每個部件都可能導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生。影響數(shù)控機(jī)床的誤差源大體可劃分為[7,8]：
1） 機(jī)床部件及構(gòu)造導(dǎo)致的幾何誤差；
2） 運(yùn)動誤差；
3） 熱變形產(chǎn)生的誤差；
4） 力產(chǎn)生的誤差，包括：載荷變形誤差、軸加速時偏心力產(chǎn)生的誤差及切削力產(chǎn)生的誤差。
5） 材料不穩(wěn)定導(dǎo)致的誤差；
6） 檢測系統(tǒng)的測試誤差；
7） 機(jī)床裝配導(dǎo)致的誤差；
8） 磨損產(chǎn)生的誤差，這包括刀具系統(tǒng)的磨損；
9） 定位產(chǎn)生的誤差；
10) 外界干擾誤差，主要指環(huán)境條件的擾動和運(yùn)行工況的波動所引起的誤差。
最傳統(tǒng)的誤差補(bǔ)償方法應(yīng)算是借助凸輪、靠模、校正尺等機(jī)械式補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，實現(xiàn)對精密機(jī)床系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正的方法，雖然機(jī)械機(jī)構(gòu)式的誤差補(bǔ)償方法取得了一定的成果，但該方法存在著設(shè)計周期長、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批等生產(chǎn)的要求[9]。
隨著計算機(jī)技術(shù)及檢測技術(shù)的不斷發(fā)展，以及人們對機(jī)床運(yùn)動規(guī)律的認(rèn)識不斷深入，以機(jī)床運(yùn)動模型及功能芯片為主體的誤差補(bǔ)償方法，逐步替代了傳統(tǒng)的機(jī)械機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償方法，在當(dāng)今數(shù)控誤差補(bǔ)償研究中一直占主導(dǎo)地位，并取得了明顯的效果[4]。
現(xiàn)在，以數(shù)控機(jī)床誤差模型為基礎(chǔ)的誤差補(bǔ)償實施方法主要可分為兩類[10]：其一是軟件補(bǔ)償法，其二是硬件補(bǔ)償法。目前使用的誤差補(bǔ)償方法主要是硬件誤差補(bǔ)償方法，該方法是通過開發(fā)以微處理器芯片為核心的誤差補(bǔ)償控制器及專用接口電路，向數(shù)控機(jī)床傳送空間點位誤差補(bǔ)償信息而達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康�。�?shù)控機(jī)床的基本功能模塊有數(shù)控系統(tǒng)、伺服單元、反饋環(huán)節(jié)。相應(yīng)的誤差補(bǔ)償器也分為三類：NC型、前饋補(bǔ)償型和反饋修正型。反饋修正控制器由美國技術(shù)和標(biāo)準(zhǔn)局的Rogel和D.Kilmer負(fù)責(zé)研究，并取得成功。該方法通過修正反饋的脈沖數(shù)，實現(xiàn)了對三坐標(biāo)加工中心的空間誤差進(jìn)行修正。該方法雖不受數(shù)控系統(tǒng)類型的限制，但仍存在兩大弱點：其一是對每個軸的位置反饋環(huán)節(jié)必須加一套修整方案，成本高，不利于調(diào)試和維護(hù)；之二是反饋環(huán)節(jié)增加誤差修正環(huán)節(jié)改變了數(shù)控機(jī)床本身的機(jī)電動態(tài)特性�？傮w來說，誤差補(bǔ)償控制器對數(shù)控系統(tǒng)有很大的依賴型，由于數(shù)控系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)的多樣性和封閉性，嚴(yán)重阻礙了該項技術(shù)的普及推廣。
與硬件補(bǔ)償法相對應(yīng)的是軟件補(bǔ)償方法，軟件誤差補(bǔ)償是通過修改數(shù)控加工代碼或者執(zhí)行補(bǔ)償指令來實現(xiàn)加工誤差的補(bǔ)償。這樣，采用軟件補(bǔ)償方法就可以在不對機(jī)床的機(jī)械部分做任何改變的情況下，使其總體精度和加工精度顯著提高。
1.2.1 幾何誤差建模技術(shù)研究現(xiàn)狀
數(shù)控機(jī)床空間誤差（幾何誤差、熱變形誤差和承載變形誤差）建模，是軟件誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵技術(shù)之一[11，12]。關(guān)于幾何誤差建模的方法，一直是國內(nèi)外學(xué)者的研究的重點，先后經(jīng)歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、剛體運(yùn)動學(xué)法，多體系統(tǒng)理論建模法幾個階段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表達(dá)法建立了三軸坐標(biāo)鏜床的空間誤差模型；
1977年，Hocken用矩陣變換對坐標(biāo)測量機(jī)(CMM)進(jìn)行幾何誤差建模；
1986年，Donmez等人推導(dǎo)了機(jī)床的廣義誤差合成模型，該模型既考慮了幾何誤差，又考慮了熱誤差；
1992年，Chen得人在研究中去除了剛體運(yùn)動假設(shè)，可以對非剛體誤差進(jìn)行補(bǔ)償，而且通過標(biāo)準(zhǔn)其次坐標(biāo)變換方法建立了幾何誤差和熱誤差兩者的模型；
1993年，Kiridena等人用機(jī)構(gòu)學(xué)推導(dǎo)了五坐標(biāo)機(jī)床的空間幾何誤差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐標(biāo)矩陣建立起多軸數(shù)控機(jī)床的準(zhǔn)靜態(tài)誤差綜合空間誤差模型，該模型還包含了幾何誤差、回轉(zhuǎn)軸誤差、熱誤差和機(jī)床部件彈性變形誤差。
在國內(nèi)，1994年天津大學(xué)章青博士利用多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)推到了任意結(jié)構(gòu)機(jī)床誤差建模方法；2003年北京那個工業(yè)大學(xué)的范晉偉教授使用多體系統(tǒng)理論推到三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床通用幾何誤差補(bǔ)償算法，該算法在北人印刷集團(tuán)實地試驗取得明顯的誤差補(bǔ)償效果[14]。
由于機(jī)床機(jī)構(gòu)復(fù)雜，工況多變，加上環(huán)境因素的影響，熱變形誤差早已引起人們的注意，也是補(bǔ)償技術(shù)的難點之一[10]。幾何誤差和熱誤差是數(shù)控加工時的主要誤差源，占數(shù)控加工總誤差的70%左右。相對來說，幾何誤差比較穩(wěn)定也比較容易測量從而便于進(jìn)行補(bǔ)償，而熱誤差的補(bǔ)償卻不那么容易，因為熱誤差的產(chǎn)生是一個動態(tài)過程，具有非線性、時滯等特點，用傳統(tǒng)的方法很難對其進(jìn)行補(bǔ)償。
載荷誤差主要體現(xiàn)在大型或重型機(jī)床上，如鏜銑床的滑枕懸臂的下垂變形，龍門銑床主軸箱移動引起橫梁變形等。綜觀現(xiàn)有文獻(xiàn)，對誤差載荷的處理方法主要有兩種：一是在線測量法[15]，該方法是在機(jī)床的特定位置上安裝一些標(biāo)準(zhǔn)快，通過大量的實驗擬合出載荷誤差與標(biāo)準(zhǔn)快的變形之間的關(guān)系，機(jī)床工作時通過測試在線檢測標(biāo)準(zhǔn)快的變形，利用擬合的數(shù)學(xué)關(guān)系間接的得到載荷變形誤差值。另一種是理論計算法，因為數(shù)控機(jī)床的載荷變形主要表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)變形和結(jié)合面變形。結(jié)構(gòu)變形通常用有限元和邊界元等方法計算，結(jié)合面載荷變形通常用接觸變形理論來處理，利用大量的實驗擬合影響結(jié)合面載荷變形的特性系數(shù)[16，17]。
本研究課題不考慮熱變形誤差及承載變形誤差，在只考慮幾何變形誤差條件下，對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行建模。
1.2.2 軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)研究現(xiàn)狀
國外軟件補(bǔ)償大體經(jīng)歷了一下的發(fā)展階段[18]：
1967 年，F(xiàn)rench 和 Humphries 提出在數(shù)控程序的編程階段解決數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償問題；
1970 年，產(chǎn)生了以通用微機(jī)平臺和誤差修正算法軟件為主體的軟件誤差補(bǔ)償思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微機(jī)平臺及數(shù)控指令修正算法為主體的軟件誤差補(bǔ)償思想，其著重應(yīng)用于坐標(biāo)測量機(jī)檢測數(shù)據(jù)的誤差修正，而在數(shù)控機(jī)床加工領(lǐng)域的應(yīng)用還不多見；
1985 年，G. Zhang 成功的對三坐標(biāo)測量機(jī)進(jìn)行了誤差補(bǔ)償。測量了工作臺平面度誤差，除在工作臺邊緣數(shù)值稍大，其它不超過1μm，驗證了剛體假設(shè)的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其長期從事的誤差補(bǔ)償研究與實踐經(jīng)驗總結(jié)基礎(chǔ)之上，再次強(qiáng)調(diào)了軟件誤差補(bǔ)償?shù)闹匾�，并進(jìn)一步指出通過軟件誤差補(bǔ)償有可能獲得很高的補(bǔ)償精度；
1998-1999 年有關(guān)重復(fù)加工中，檢測己加工工件的誤差，進(jìn)而通過修正刀具路線的方法，提高待加工工件加工精度為內(nèi)容的軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)文獻(xiàn)日益增多，反映出軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)具有很強(qiáng)的發(fā)展趨勢；
在2000 年美國Michigan 大學(xué)Jun Ni 教授指導(dǎo)的博士生Chen Guiquan做了有意的嘗試，運(yùn)用球桿儀(TBB)對三軸數(shù)控機(jī)床不同溫度下的幾何誤差進(jìn)行了測量，建立了快速的溫度預(yù)報和誤差補(bǔ)償模型，進(jìn)行了誤差補(bǔ)償。
在我國應(yīng)用極其廣泛的是中低檔數(shù)控機(jī)床，幾何誤差約占機(jī)床總體誤差的70%左右，國內(nèi)學(xué)者對機(jī)床幾何誤差也進(jìn)行了深入研究：
1986 北京機(jī)床研究所開展了機(jī)床熱誤差和坐標(biāo)測量機(jī)的補(bǔ)償研究；
1997 年天津大學(xué)的李書和等進(jìn)行了機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)慕：蜔嵴`差補(bǔ)償研究；
1998 年天津大學(xué)的劉又午等采用多體系統(tǒng)建立了機(jī)床的誤差模型，給出了幾何誤差的22 線、14 線、9 線激光干涉儀測量方法，1999 年他們還對數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償進(jìn)行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大學(xué)的楊建國進(jìn)行了車床熱誤差補(bǔ)償?shù)难芯浚?br />
1996到2000年在國家自然科學(xué)基金和國家863計劃項目的支持下，華中科技大學(xué)開展了對數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償以及基于切削力在線辯識的智能自適應(yīng)控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工業(yè)大學(xué)范晉偉教授使用多體系統(tǒng)理論運(yùn)動學(xué)推導(dǎo)出三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床通用幾何誤差補(bǔ)償軟件，該軟件在北人印刷集團(tuán)實地實驗取得明顯的誤差補(bǔ)償效果。
圖1.1 軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)流程圖
這樣可以修正由于機(jī)床幾何運(yùn)動所引起的誤差，可以提高加工精度，當(dāng)然機(jī)床的加工精度還受到其他因素的影響，如刀具磨損、載荷、溫度、濕度等，但由于這些因素產(chǎn)生的誤差相對于機(jī)床的幾何運(yùn)動誤差還是較小的，本文提出的誤差補(bǔ)償方法的是機(jī)床幾何運(yùn)動誤差，對于其他因素的影響沒有考慮在內(nèi)。
自誤差補(bǔ)償技術(shù)問世以來，經(jīng)歷了傳統(tǒng)誤差補(bǔ)償、硬件誤差補(bǔ)償和目前日趨成熟的軟件誤差補(bǔ)償。傳統(tǒng)的誤差補(bǔ)償方法存在著設(shè)計周期長、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批、靈活、多變的現(xiàn)代生產(chǎn)及市場競爭要求；而硬件補(bǔ)償法對數(shù)控系統(tǒng)又有很大的依賴性，由于數(shù)控系統(tǒng)的多樣性和封閉性，并且開發(fā)的控制器和接口電路會影響機(jī)床的機(jī)電匹配特性等問題，嚴(yán)重阻礙了該項技術(shù)的應(yīng)用與推廣；在這種背景下，人們逐漸開始重視軟件誤差補(bǔ)償法，該方法實現(xiàn)了“不使用精密加工設(shè)備的精密加工”，具有極高的性能價格比，已逐步發(fā)展成為當(dāng)今提高機(jī)床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究內(nèi)容
本課題以如何提高數(shù)控機(jī)床加工精度為目的而展開的，主要針對三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償問題，研究一下幾個內(nèi)容：
1. 分析多體系統(tǒng)的建立方法，對多體系統(tǒng)進(jìn)行簡單的描述，并對多體系統(tǒng)的低序體陣列進(jìn)行補(bǔ)充，建立多體系統(tǒng)的運(yùn)動模型和誤差模型。
2. 數(shù)控機(jī)床是多體系統(tǒng)的一個特例，將多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論具體的應(yīng)用到數(shù)控機(jī)床的誤差建模中去，對機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析并且用機(jī)床結(jié)構(gòu)二叉樹來描述，建立不考慮幾何運(yùn)動誤差的數(shù)控機(jī)床多體系統(tǒng)通用模型，給出工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系上的給定點在慣性坐標(biāo)系中實際位置的數(shù)學(xué)模型。
3．保證數(shù)控機(jī)床刀具中心的實際軌跡與待加工工件上的理論刀具中心軌跡完全一致，建立考慮幾何誤差影響的數(shù)控機(jī)床機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型，并且給出工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系上的給定點在慣性坐標(biāo)系中實際位置的數(shù)學(xué)模型，同時建立了有誤差情況系的通用數(shù)控機(jī)床精密求解方程。
4．描述三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的幾何誤差，建立了ZK7640三坐標(biāo)數(shù)控銑床的運(yùn)動模型，同時給出了該銑床的精密加工條件方程。
5．?dāng)?shù)控機(jī)床誤差分析軟件的程序總體設(shè)計
采用MATLAB軟件進(jìn)行編程，根據(jù)ZK7640數(shù)控銑床的精密加工條件方程，分析理想條件下已知刀具路線坐標(biāo)值求解數(shù)控指令坐標(biāo)值，已知數(shù)控指令坐標(biāo)值求解刀具實際軌跡，用迭代法求出精密加工數(shù)控指令坐標(biāo)值，最后具體分析數(shù)控指令坐標(biāo)值修正前后的加工誤差變化，同時繪制出相應(yīng)的仿真圖。
多體系統(tǒng)運(yùn)動模型和誤差模型的建立
2.1多體系統(tǒng)理論概述
多體系統(tǒng)理論是研究多體系統(tǒng)問題的一門科學(xué)，具有很好的通用性、系統(tǒng)性，尤其是電子計算機(jī)高速發(fā)展的今天，多體系統(tǒng)理論利用計算機(jī)程序和算法進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的計算，滿足了經(jīng)典動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)理論不能解決的復(fù)雜問題分析計算的需要。多體系統(tǒng)是對工程實際中大量涌現(xiàn)的多個剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式。任何機(jī)械系統(tǒng)都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統(tǒng)。多體系統(tǒng)理論已在機(jī)器人、多軸機(jī)床等機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析與控制中得到應(yīng)用。但是迄今眾多體系統(tǒng)理論流派均側(cè)重于多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究，而對多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論的運(yùn)用研究多集中在理想剛體的運(yùn)動情況，未建立起實際條件下的多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論，這也在一定程度上阻礙了多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論的實際應(yīng)用。
2.2 多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述
多個物體通過沒有特定的形式連接起來就構(gòu)成多體系統(tǒng)。對多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)加以描述并建立多體系統(tǒng)的低序體陣列，是多體系統(tǒng)理論的基本問題。機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式多種多樣，如床身有立式、臥式、龍門式等，通過拓?fù)涞姆椒枋�，可以將�?fù)雜的結(jié)構(gòu)抽象成簡單的體的形式。圖2-1就是一個典型的多體系統(tǒng)，通過低序體陣列，可以將任何一個物體追溯到大地坐標(biāo)系中去。設(shè)慣性坐標(biāo)系為體，任選一體為體，然后沿遠(yuǎn)離體的方向，以增長數(shù)列標(biāo)定每個物體的序號，從系統(tǒng)的一個分支到另一個分支，直到全部物體標(biāo)定完為止，圖2-2是對圖2-1系統(tǒng)的編號的結(jié)果，令標(biāo)定腳碼與各數(shù)字對應(yīng)。
圖2-1 多體系統(tǒng)
圖2-2 對圖2-1多體系統(tǒng)的編號
可見除以外，每個物體都有一個相鄰的較低序號物體。當(dāng)推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)和編制計算方法時，需要為系統(tǒng)中每個物體的較低序號物體制定一個表格，用表示，稱為“較低序號物體陣列”，表示物體的序號。令為待研究系統(tǒng)所在的參考系，把看作的較低序號物體，則的序號應(yīng)為0。
對圖2-2的系統(tǒng)，當(dāng)時，為
（2-1）
多體系統(tǒng)低序體陣列描述了開環(huán)多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點。根據(jù)多體系統(tǒng)示意圖就能寫出反之，已知就能畫出多體系統(tǒng)示意圖。
圖2-2所示的多體系統(tǒng)的低序體陣列描述，見表2-1。
表2-1中為多體系統(tǒng)中典型體的序號，為典型體的n階低序體的序號，可表示為
（2-2）
式中 ——為低序體算子；n, k ——為正整數(shù)。
由式（2-2），典型體的相鄰低序體可表示為
（2-3）
且補(bǔ)充定義
（2-4）
（2-5）
表2-1 多體系統(tǒng)的低序體陣列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作為低序體陣列的補(bǔ)充，其他三種陣列在推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)算法時也很有用。即“末端體陣列”、“分支體陣列”和“中間體陣列”。顧名思義，“末端”體即位于系統(tǒng)邊界點上的物體，“分支”體是含有多于一個分支的物體，即非末端體，又非分支體，稱為“中間”體。
在圖2-2中的多體系統(tǒng)，末端體為、、 ，沒有相鄰更高體序號物體的那些物體即可判斷為末端體，所以，末端體是表2-1中那一行沒有列出的物體。在圖2-2中，分支體為和，凡是有一個以上相鄰更高序號物體的那些物體即可判別為分支體，所以，分支體是表2-1中那一行有重復(fù)序號的那些體。在圖2-2中，中間體為、和，與末端體和分支體一樣，也可由對行的檢查而確定中間體，即中間體是在表2-1中那一行出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次的物體。
2.3 多體系統(tǒng)中典型體的物理描述
圖2-3 理想情況多體系統(tǒng)中的典型體及其相鄰低序體
多體系統(tǒng)中的典型體及相鄰體（）如圖2-3所示。體的運(yùn)動參考點為，它固定在上，其相對于原點用固連在體上的位置矢量描述。用相對于的位移矢量描述體相對于體的相對移動。在和體上分別固連了動坐標(biāo)系：，，和：，，，分別稱為體參考坐標(biāo)系和體參考坐標(biāo)系，則稱右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的變化就表示了體相對于體的轉(zhuǎn)動。令變換矩陣的各元素分別為
（m，n=1，2，3） （2-6）
則右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的關(guān)系表達(dá)為：
（2-7）
變化矩陣描述了相鄰體參考坐標(biāo)系間的相互變換關(guān)系，稱之為相鄰體變換矩陣。
2.4 多體系統(tǒng)運(yùn)動模型的建立
運(yùn)動學(xué)方程可分為：零級運(yùn)動方程（描述位置和姿勢），一級運(yùn)動方程（描述速度和角速度），二級運(yùn)動方程（描述加速度和角加速度），和高級運(yùn)動方程（描述躍變和角躍變，即加速度的導(dǎo)數(shù)和角加速度的導(dǎo)數(shù)）。由于零級運(yùn)動方程在制造系統(tǒng)運(yùn)動誤差分析中占有突出的地位，所以下面研究零級運(yùn)動學(xué)方程。
根據(jù)圖2-3，可得在慣性系中的矢量表達(dá)
（2-8）
式中： ——依照低序體陣列求和，且；
——含分支內(nèi)任意體的位置矢量和位移矢量；
如令為體相對于R的變換矩陣，由于變換矩陣遵循傳遞法則，故有
（2-9）
式中：表示按低序體陣列連乘，且
典型體位置方程的矩陣表達(dá)式為：
（2-10）
式中： 為體參考點在參考系R中的位置矢量的分量陣列表達(dá)式；
，為和在中的分量陣列；
體上任意點P在R中的表達(dá)式為：
（2-11）
2.5 多體系統(tǒng)誤差模型的建立
在有誤差的情況下，多體系統(tǒng)理論理想表達(dá)式就不能準(zhǔn)確的描述多體系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)。為了達(dá)到精度控制的目的，必須建立與誤差條件相適應(yīng)的新的多體系統(tǒng)的位置表達(dá)式。考慮誤差后，相鄰體相對運(yùn)動示意圖如圖2-4所示。當(dāng)位移為零，誤差為零時，與重合。表示原點和原點間初始位置矢量，表示位置誤差矢量。表示相對于的位移矢量，表示位移誤差矢量。當(dāng)數(shù)控機(jī)床部件發(fā)生位移時，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之間點增設(shè)一個坐標(biāo)系，并將改寫成，且定義為位置坐標(biāo)系，為位移坐標(biāo)系。
圖2-4 有誤差時多體系統(tǒng)中典型體及其相鄰低序體
依圖，根據(jù)矢量關(guān)系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考慮方位誤差,可得
（2-14）
式中 ——與相對位移間的方位變換矩陣；
——與相對位置間的方位變換矩陣，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相對于的相對位置變換矩陣卡爾丹角。
令,,表示位置方位誤差。由于數(shù)控機(jī)床是較精密的設(shè)備，,,都是一個較小的值，可近似的取,,其余類推。故位置方位誤差矩陣可簡化為
（2-16）
又知，體相對于體的運(yùn)動形式有平動和轉(zhuǎn)動。當(dāng)為平動時，位移變換矩陣為單位陣
體相對于體的轉(zhuǎn)動主要有三種情況，繞的x軸轉(zhuǎn)動α、繞體的y軸轉(zhuǎn)動β以及繞體的z軸轉(zhuǎn)動γ。與其相對應(yīng)的變換矩陣分別是
如令表示位移方位誤差，當(dāng)方位誤差很小時，可取其余類推。則位移的方位誤差矩陣可表示為
（2-17）
當(dāng)存在方位誤差時，根據(jù)傳遞關(guān)系，則有
（2-18）
考察典型體上任意點（如圖2-4所示），其在參考系中的位置方程為
（2-19）
2.6 本章小結(jié)
多體系統(tǒng)是對工程實際中大量涌現(xiàn)的多個剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式。任何機(jī)械系統(tǒng)都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統(tǒng)。本章對多體系統(tǒng)進(jìn)行了概括，描述了多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對多體系統(tǒng)中的典型體進(jìn)行了物理描述，建立了多體系統(tǒng)的運(yùn)動模型和誤差模型，為三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動和誤差模型的建立做了理論準(zhǔn)備。
三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動模型與誤差模型建模
3.1 數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)描述
數(shù)控機(jī)床由床身、工作臺、溜板箱、主軸箱和刀具等組成，為了建立通用的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動模型，對各種數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行總體概括、分析與抽象是必不可少的工作。經(jīng)過對常用的數(shù)控機(jī)床分析，可將機(jī)床機(jī)構(gòu)歸結(jié)為兩條運(yùn)動鏈：一條為“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，另一條為“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈。從工件（工作臺）到機(jī)架之間的運(yùn)動鏈為“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，由m個運(yùn)動副串聯(lián)而成；從刀具（主軸）到機(jī)架之間的運(yùn)動鏈為“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈，由n個運(yùn)動副串聯(lián)而成。在進(jìn)一步分析可知，數(shù)控機(jī)床各運(yùn)動部件之間只有單自由度的相對運(yùn)動并且有三種約束類型，分別為剛性聯(lián)接、銷型（回轉(zhuǎn)）和棱柱型（平移）。因此，數(shù)控機(jī)床只是一類特殊的多體系統(tǒng)，且為開環(huán)多體系統(tǒng)，它沒有超出一般多體系統(tǒng)的研究的范圍，可以用多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論來建立三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動模型與誤差分析模型。
為了對數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理、清楚的表達(dá)，這里采用有源二叉樹來描述（如圖3-1所示）。圖中左半部代表“刀具——機(jī)架”運(yùn)動鏈，右半部代表“工件——機(jī)架”運(yùn)動鏈，左右兩運(yùn)動鏈用包含轉(zhuǎn)軸和線性軸的二叉樹表示，通過分別在左右兩運(yùn)動鏈內(nèi)選擇轉(zhuǎn)軸和線性軸的不同組合形式，可構(gòu)成不同的數(shù)控機(jī)床。該樹的每個中節(jié)點有一個前驅(qū)節(jié)點和兩個后繼節(jié)點，樹葉節(jié)點僅有一個前驅(qū)節(jié)點沒有后繼節(jié)點，這些節(jié)點代表了機(jī)床的不同運(yùn)動部件。樹根節(jié)點無前驅(qū)節(jié)點，僅有兩個后繼節(jié)點，樹根幾點代表了機(jī)床床身，它的兩個后繼節(jié)點分別描述了刀具分支及工作臺分支這一屬性。除樹根節(jié)點以外的其他節(jié)點，與去后續(xù)節(jié)點的連接，均描述了其后續(xù)節(jié)點的運(yùn)動屬性，如回轉(zhuǎn)及回轉(zhuǎn)方向或平移及平移方向。這樣，通過這一形象且簡單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用戶可以很方便的準(zhǔn)確定義其所使用的數(shù)控機(jī)床。
圖3-1 機(jī)床結(jié)構(gòu)二叉樹描述
3.2 數(shù)控機(jī)床通用運(yùn)動模型的建立
數(shù)控機(jī)床是一類僅有兩個分支的特殊多體系統(tǒng)，體與體之間的鏈接用到單自由度的平移和銷鏈接。雖然數(shù)控機(jī)床一般最多只有五個運(yùn)動部件，但這五個運(yùn)動部件的運(yùn)動形式以及各部件處于哪個分支卻十分靈活多變，為給出各種數(shù)控機(jī)床的通用運(yùn)動模型，特提出如圖3-2所示的多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型。
圖3-2中共有兩個分支，每個分支各含有五個運(yùn)動體，相鄰體間均以六個相對自由度來建模。該模型應(yīng)用于具體的數(shù)控機(jī)床時，將根據(jù)上述數(shù)控機(jī)床二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，將多體系統(tǒng)中多余的物體參數(shù)約束為零，從而達(dá)到具體數(shù)控機(jī)床的準(zhǔn)確描述。
圖3-2 不考慮幾何誤差的數(shù)控機(jī)床多體系統(tǒng)通用模型
在圖3-2的模型中，“工件—機(jī)架”運(yùn)動鏈B—W由如下體鏈接而成： ，其中為5個運(yùn)動體，相鄰體之間的運(yùn)動為平動或者轉(zhuǎn)動；“刀具—機(jī)架”運(yùn)動鏈B—T，由如下體鏈接而成：，其中為5個運(yùn)動體，相鄰體之間的運(yùn)動為平動或者轉(zhuǎn)動。
根據(jù)多體系統(tǒng)理論，在無誤差情況下，典型體上點P在慣性坐標(biāo)系R中的位置可表示為：
(3-1)
式中 ——不考慮誤差情況下，典型體體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的實
際變換矩陣，可表示為：
式中 ——理想情況下，低序體分支中體的運(yùn)動參考坐標(biāo)系相對于體
的體參考坐標(biāo)系變化矩陣；
——理想情況下，低序體分支中體的體參考坐標(biāo)系相對于其體運(yùn)
動參考坐標(biāo)系的變化矩陣；
由以上分析可以得出，對于圖3-2的模型中“工件—機(jī)架”運(yùn)動鏈，典型體W（工件）體坐標(biāo)系上給定點P在慣性坐標(biāo)系中的實際位置表示為：
(3-2)
式中 ——典型體（工件）坐標(biāo)系中給定點P在慣性坐標(biāo)系R中的位置列陣；
——典型體（工件）坐標(biāo)系上給定點P在工件坐標(biāo)系中的位置陣列；
——不考慮誤差情況下典型體W體坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的變換陣
(3-3)
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