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綜合評價飛機(jī)性能與最佳飛行方案設(shè)計的問題(一)
飛機(jī)性能的評價與飛行方案的設(shè)計
摘要
本文解決的是一個綜合評價飛機(jī)性能與最佳飛行方案設(shè)計的問題，并從航空公司角度對購買何種機(jī)型進(jìn)行了詳盡的討論。
問題一，對目前在我國民航業(yè)運(yùn)營的B747-100等17種型號的客機(jī)，通過線性加權(quán)的方法，采用客觀賦權(quán)的方式將飛機(jī)的諸多性能指標(biāo)綜合為一個量化指標(biāo)，進(jìn)行了較為科學(xué)合理的評價，并對其性能優(yōu)劣進(jìn)行了排序：B747-100、L-1011……DC-9-10。
問題二，首先考慮將所有的旅客送達(dá)目的地以使旅客滿意，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型。由于飛機(jī)型號和數(shù)量的限制得出此模型與實(shí)際不符，進(jìn)而對模型進(jìn)行改進(jìn)，引入了偏差變量使未搭乘飛機(jī)的人數(shù)最少，得到既滿足旅客需求又節(jié)約成本的最佳飛行方案：在5條航線上共布置14架飛機(jī)，共有16名旅客未能乘機(jī)，消耗燃料共計4.8668e+004 (gal)操作費(fèi)用共計9.7793e+004($)
問題三，在問題一的基礎(chǔ)上，整體比較了波音公司（B型號）和麥道公司(MD和DC型號)生產(chǎn)的客機(jī)的性能，得出波音公司生產(chǎn)的飛機(jī)性整體性能較優(yōu)。對如何購買飛機(jī)，我們引入市場需求指數(shù)、飛機(jī)的經(jīng)濟(jì)性和綜合性能三項指標(biāo)，并對表一中波音公司生產(chǎn)的8種型號的飛機(jī)進(jìn)行了綜合考查，利用層次分析法得出了較好的購買方案.即購買B747-100和B757-200兩架飛機(jī)。
關(guān)鍵詞：性能評價；線性加權(quán)方法；多目標(biāo)規(guī)劃；層次分析
一、問題重述
1.背景
隨著民航事業(yè)的發(fā)展，我國形成了許多航空公司。各航空公司擁有各種不同的民航客機(jī)，相互之間存在著激烈的競爭。飛機(jī)型號及其布置的選擇合理與否，將直接影響到航空公司的效益，甚至生死存亡。
2.問題
問題一
目前在我國民航業(yè)運(yùn)營的各種客機(jī)的性能參數(shù)見表1，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)綜合評價各客機(jī)的性能。將表1中17種不同型號的飛機(jī)進(jìn)行依次編號為1，2，…，17。
表1各種飛機(jī)的性能參數(shù)
編號 飛機(jī)型號 擁有座位數(shù) 航速（mph） 飛行距離（miles） 燃料消耗（ gal/hr） 操作費(fèi)用（$/hr）
1 B747-100 405 519 3149 3529 6132
2 L-1011 296 498 1631 2215 3885
3 DC-10 288 484 1410 2174 4236
4 A300 B4 258 460 1221 1482 3526
5 A310-300 240 473 1512 1574 3484
6 B767-300 230 478 1668 1503 3334
7 B767-200 193 475 1736 1377 2887
8 B757-200 188 449 984 985 2301
9 B727-200 148 427 688 1249 2247
10 MD-80 142 416 667 882 1861
11 B737-300 131 413 605 732 1826
12 DC-9-50 122 378 685 848 1830
13 B727-100 115 422 626 1104 2031
14 B737-100 112 388 440 806 1772
15 F-100 103 360 384 631 1456
16 DC-9-30 102 377 421 804 1778
17 DC-9-10 78 376 394 764 1588
問題二
如果航空公司目前承擔(dān)表2中的運(yùn)輸計劃，制定滿足旅客需求（方便快捷）同時又節(jié)約成本的最佳飛行方案（即在每條航線上布置何種客機(jī)、布置多少）。
表 2 某公司承擔(dān)的運(yùn)輸任務(wù)
航線 平均旅客人數(shù) 飛行距離（miles）
1 350 2900
2 1050 1200
3 205 900
4 500 620
5 400 400
擁有客機(jī)型號及數(shù)量 DC-10(1架),B747-100(1架), A300 B4(2架), B767-300(2架), B757-200(1架), MD-80(2架), DC-9-30(3架), B727-100(3架)
問題三
整體比較波音公司（B型號）和麥道公司(MD和DC型號)生產(chǎn)的客機(jī)的性能。如果航空公司需要新買進(jìn)兩架客機(jī)以擴(kuò)充運(yùn)輸能力并提高旅客的滿意程度，應(yīng)該選擇何種客機(jī)，說明理由。
二、符號約定
xj : 表示飛機(jī)性能指標(biāo)變量(j=1,2,…,n)
X : 表示n個性能指標(biāo)組成的單列矩陣 X=[x1,x2…,xn]T
Z : 表示飛機(jī)性能綜合指標(biāo)函數(shù) Z（x）＝(x1,x2…,xn)
Tij : 表示各性能指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化后無量綱、正向可加的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（其數(shù)據(jù)越大越好）
Mj : 表示第i種型號飛機(jī)中第j項性能指標(biāo)的最大值
mj : 表示第i種型號飛機(jī)中第j項性能指標(biāo)的最小值
Zi : 表示第i種型號飛機(jī)性能的綜合指標(biāo)
w*j: 表示性能指標(biāo)變量xj的權(quán)重
rij: 表示第i種型號飛機(jī)第j個性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)占此型號飛機(jī)所有性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的比重
Sj: 表示各性能指標(biāo)的熵值
Vi: 表示第i型號飛機(jī)的航速
li: 表示第i型號飛機(jī)的飛行距離
nij: 表示第j條航線是否布置第i號飛機(jī)；布置時nij=1,否則nij=0
lj*: 表示第j條航線的飛行距離
三、問題假設(shè)
飛機(jī)勻速直線飛行；
飛機(jī)在中途不停留、不加油，旅客無轉(zhuǎn)機(jī)；
不考慮天氣等人為或突發(fā)事件對飛機(jī)起飛的影響；
在執(zhí)行任務(wù)時，一架飛機(jī)只在一條航線上飛行一次；
飛機(jī)為增加安全性，每架飛機(jī)旅客數(shù)不超其最大載客量；
不考慮飛行員技術(shù)對燃料消耗和操作費(fèi)用的影響；
飛機(jī)的性能僅受題目所給五項指標(biāo)的影響;
8. 公司經(jīng)濟(jì)實(shí)力雄厚，有閑置飛機(jī)的承受能力;
9. 購買飛機(jī)時，不考慮航空公司對價格的承受能力;
四、問題分析
問題一：對于17架不同飛機(jī)，給出了座位數(shù)、航速等五項指標(biāo)，要求對其進(jìn)行綜合性能的評價，考慮到五項指標(biāo)優(yōu)劣相互交錯，只考慮某一項指標(biāo)顯然不妥。故此我們采用線性加權(quán)法，通過一套量化的評價標(biāo)準(zhǔn)來對其進(jìn)行描述。
問題二：給出15架客機(jī)，要求對5條航線進(jìn)行飛機(jī)布置，制定出滿足旅客需求（方便快捷）同時又節(jié)約成本的最佳飛行方案，以執(zhí)行運(yùn)輸計劃。其中，方便可理解為機(jī)票不緊張，快捷指中途不停留，飛行時間短。節(jié)約成本就是要最大限度地降低燃料的消耗和操作費(fèi)用的支出。因此，航線的制定要考慮到飛機(jī)最大航程的剛性約束，又要想到每條航線上平均旅客人數(shù)的軟性約束，同時，為了保證航空公司的經(jīng)濟(jì)效益，必須考慮燃料消耗和操作費(fèi)用對決策的影響。
問題三：要求對波音和麥道公司所生產(chǎn)的客機(jī)性能進(jìn)行整體評價，并選取兩架合適的飛機(jī)來擴(kuò)充公司的運(yùn)輸能力和提高旅客的滿意程度。對于運(yùn)輸能力，即要最大限度的多輸送旅客，又要提高飛機(jī)的座客率;對于旅客的滿意程度，即要求飛機(jī)航速快，容易購得機(jī)票，同時，還要照顧到航空公司的經(jīng)濟(jì)利益�？傊�，對于飛機(jī)選型的評估，既要有飛機(jī)的技術(shù)性能，又要有經(jīng)濟(jì)性的綜合評估。
五、模型的建立與求解
問題一
建模準(zhǔn)備：
盡管飛機(jī)型號繁多，但航空公司對它的性能要求是一致的，即要求安全性高、方便快捷、成本最少。飛機(jī)的性能指標(biāo)很多，包括有載客量、經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)，也有旅客滿意程度等指標(biāo)，這里我們只考慮飛機(jī)的最大航程、最大航速、耗油率、載客量和操作費(fèi)用五個指標(biāo)。由于客運(yùn)機(jī)按其航程有短線和長線之分，故生產(chǎn)廠家之問的設(shè)計、制造水平存在一定差異，使得各自生產(chǎn)出的機(jī)型的性能也不盡相同。若某機(jī)型的各項性能指標(biāo)都相應(yīng)地高于其他機(jī)型，則該機(jī)型的性能也必然好于其他機(jī)型。然而，實(shí)際情況往往是不同機(jī)型的性能指標(biāo)優(yōu)劣相互交錯，很難用某單項性能指標(biāo)來評價各機(jī)型的性能好壞［1］。因此，如何正確評價飛機(jī)性能的好壞需要一個完整的評價體系，我們從這一實(shí)際情況出發(fā)，利用線性加權(quán)方法將飛機(jī)的諸多性能指標(biāo)綜合為一個量化指標(biāo)，以此來評價不同機(jī)型性能的好壞。
模型的建立：
1．綜合評價數(shù)學(xué)模型
1.1.綜合指標(biāo)函數(shù)
設(shè)：飛機(jī)性能指標(biāo)變量為xj( j=1，2，. ，n),X=[x1,x2,…,xn]T ,則飛機(jī)性能綜合指標(biāo)函數(shù)為 (1)
式中代表各性能指標(biāo)變量組成的單列矩陣。顯然，正確評價不同機(jī)型性能的好壞，就化為求解各機(jī)型的Z(X )值，Z(X )愈大，則性能就愈好。
1.2.性能指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化（程序見附錄附件1）
在飛機(jī)性能指標(biāo)中，由于既有極大型指標(biāo)(指標(biāo)越大越好)，也有極小型指標(biāo)(指標(biāo)越小越好)且各指標(biāo)的單位也不統(tǒng)一，因此，要計算飛機(jī)綜合性能指標(biāo)，就必須將性能指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，即將單位不統(tǒng)一的各性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為無量綱、正向可加(轉(zhuǎn)化的數(shù)據(jù)越大越好)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。
設(shè)：現(xiàn)有i種不同飛機(jī)機(jī)型，則某機(jī)型性能指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化公式為
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