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小學(xué)奧數(shù)知識(shí)清單
小學(xué)奧數(shù)可以分為計(jì)算、計(jì)數(shù)、數(shù)論、幾何、應(yīng)用題、行程、組合七大板塊,其中必須掌握的三十六個(gè)知識(shí)點(diǎn),內(nèi)容從和差倍問(wèn)題、年齡問(wèn)題到循環(huán)小數(shù),包含了小學(xué)奧數(shù)七個(gè)模塊的知識(shí)。今天小編就為大家準(zhǔn)備了一份小學(xué)奧數(shù)知識(shí)清單,大家一起來(lái)看看吧。
2、年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征:
①兩個(gè)人的年齡差是不變的;
、趦蓚(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的;
、蹆蓚(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;
3、歸一問(wèn)題
基本特點(diǎn):?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量,一般是那個(gè)“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。
關(guān)鍵問(wèn)題:根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;
5、雞兔同籠問(wèn)題
基本概念:雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題,就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái);
基本思路:
、偌僭O(shè),即假設(shè)某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):
②假設(shè)后,發(fā)生了和題目條件不同的差,找出這個(gè)差是多少;
③每個(gè)事物造成的差是固定的,從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因;
、茉俑鶕(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,消去出現(xiàn)的差。
基本公式:
①把所有雞假設(shè)成兔子:雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
、诎阉型米蛹僭O(shè)成雞:兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))
關(guān)鍵問(wèn)題:找出總量的差與單位量的差。
6、盈虧問(wèn)題
基本概念:一定量的對(duì)象,按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組,產(chǎn)生一種結(jié)果:按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組,又產(chǎn)生一種結(jié)果,由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同,造成結(jié)果的差異,由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?
基本思路:先將兩種分配方案進(jìn)行比較,分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化,根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù),然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量.
基本題型:
、僖淮斡杏鄶(shù),另一次不足;
基本公式:總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
、诋(dāng)兩次都有余數(shù);
基本公式:總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
、郛(dāng)兩次都不足;
基本公式:總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差
基本特點(diǎn):對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。
關(guān)鍵問(wèn)題:確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。
第二部分(知識(shí)點(diǎn)7-11)
7、牛吃草問(wèn)題
基本思路:假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份,根據(jù)兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。
基本特點(diǎn):原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的;
關(guān)鍵問(wèn)題:確定兩個(gè)不變的量。
基本公式:
生長(zhǎng)量=(較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù))÷(長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間);
總草量=較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量;
8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律
周期現(xiàn)象:事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。
周期:我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。
關(guān)鍵問(wèn)題:確定循環(huán)周期。
閏年:一年有366天;
、倌攴菽鼙4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;
平年:一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9、平均數(shù)
基本公式:
、倨骄鶖(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)
總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)
總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)
②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)
基本算法:
、偾蟪隹倲(shù)量以及總份數(shù),利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.
、诨鶞(zhǔn)數(shù)法:根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系,確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù);以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和,就是所求的平均數(shù),具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②。
10、抽屜原理
抽屜原則一:如果把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里,那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。
例:把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里,也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和,那么就有以下四種情況:
、4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn):總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體,也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。
抽屜原則二:如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里,其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有:
、賙=[n/m ]+1個(gè)物體:當(dāng)n不能被m整除時(shí)。
、趉=n/m個(gè)物體:當(dāng)n能被m整除時(shí)。
理解知識(shí)點(diǎn):[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關(guān)鍵問(wèn)題:構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。
11、定義新運(yùn)算
基本概念:定義一種新的運(yùn)算符號(hào),這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本(混合)運(yùn)算。
基本思路:嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則,把已知的數(shù)代入,轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算,然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。
關(guān)鍵問(wèn)題:正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。
注意事項(xiàng):①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律,特別注意運(yùn)算順序。
、诿總(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。
第三部分(知識(shí)點(diǎn)12-16)
12、數(shù)列求和
等差數(shù)列:在一列數(shù)中,任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的,這樣的一列數(shù),就叫做等差數(shù)列。
基本概念:首項(xiàng):等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù),一般用a1表示;
項(xiàng)數(shù):等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù),一般用n表示;
公差:數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差,一般用d表示;
通項(xiàng):表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式,一般用an表示;
數(shù)列的和:這一數(shù)列全部數(shù)字的和,一般用Sn表示.
基本思路:等差數(shù)列中涉及五個(gè)量:a1 ,an, d, n,Sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量,如果己知其中三個(gè),就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量,如果己知其中三個(gè),就可以求這第四個(gè)。
基本公式:
通項(xiàng)公式:an = a1+(n-1)d;
通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1) ×公差;
數(shù)列和公式:Sn= (a1+ an)×n÷2;
數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2;
項(xiàng)數(shù)公式:n= (an+ a1)÷d+1;
項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1;
公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷(項(xiàng)數(shù)-1);
關(guān)鍵問(wèn)題:確定已知量和未知量,確定使用的公式;
13、二進(jìn)制及其應(yīng)用
十進(jìn)制:用0~9十個(gè)數(shù)字表示,逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))
二進(jìn)制:用0~1兩個(gè)數(shù)字表示,逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:An不是0就是1。
十進(jìn)制化成二進(jìn)制:
、俑鶕(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn),用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù),直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。
②先找出不大于該數(shù)的2的n次方,再求它們的差,再找不大于這個(gè)差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。
14、加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)
加法原理:如果完成一件任務(wù)有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務(wù)共有:m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關(guān)鍵問(wèn)題:確定工作的分類方法。
基本特征:每一種方法都可完成任務(wù)。
乘法原理:如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務(wù)共有:m1×m2....... ×mn種不同的方法。
關(guān)鍵問(wèn)題:確定工作的完成步驟。
基本特征:每一步只能完成任務(wù)的一部分。
直線:一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng),形成的軌跡。
直線特點(diǎn):沒(méi)有端點(diǎn),沒(méi)有長(zhǎng)度。
線段:直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。
線段特點(diǎn):有兩個(gè)端點(diǎn),有長(zhǎng)度。
射線:把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。
射線特點(diǎn):只有一個(gè)端點(diǎn);沒(méi)有長(zhǎng)度。
、贁(shù)線段規(guī)律:總數(shù)=1+2+3+…+(點(diǎn)數(shù)一1);
②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);
、蹟(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律:個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù):
、軘(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律:個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)
15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)
質(zhì)數(shù):一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外,沒(méi)有別的約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù),也叫做素?cái)?shù)。
合數(shù):一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外,還有別的約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。
質(zhì)因數(shù):如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù),那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
分解質(zhì)因數(shù):把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái),叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。
,其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù),且a1
求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互質(zhì)數(shù):如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。
16、約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)和倍數(shù):若整數(shù)a能夠被b整除,a叫做b的倍數(shù),b就叫做a的約數(shù)。
公約數(shù):幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
最大公約數(shù)的性質(zhì):
(1)幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù),所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。
(2)幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。
(3)幾個(gè)數(shù)的公約數(shù),都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。
(4)幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。
例如:12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;
18的約數(shù)有:1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公約數(shù)有:1、2、3、6;
那么12和18最大的公約數(shù)是:6,記作(12,18)=6;
求最大公約數(shù)基本方法:
(1)分解質(zhì)因數(shù)法:先分解質(zhì)因數(shù),然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。
(2)短除法:先找公有的約數(shù),然后相乘。
(3)輾轉(zhuǎn)相除法:每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除,能夠整除的那個(gè)余數(shù),就是所求的最大公約數(shù)。
公倍數(shù):幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
12的倍數(shù)有:12、24、36、48……;
18的倍數(shù)有:18、36、54、72……;
那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;
那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;
最小公倍數(shù)的性質(zhì):
(1)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。
(2)兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。
求最小公倍數(shù)基本方法:1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法
第四部分(知識(shí)點(diǎn)17-21)
17、數(shù)的整除
一、基本概念和符號(hào):
1、整除:如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余數(shù),那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。
2、常用符號(hào):整除符號(hào)“|”,不能整除符號(hào)“”;因?yàn)榉?hào)“∵”,所以的符號(hào)“∴”;
二、整除判斷方法:
1. 能被2、5整除:末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除:末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3. 能被8、125整除:末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4. 能被3、9整除:各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除:
、倌┤簧蠑(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除:
、倌┤簧蠑(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
、谄鏀(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7. 能被13整除:
、倌┤簧蠑(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質(zhì):
1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除,c是整數(shù),那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
18、余數(shù)及其應(yīng)用
基本概念:
對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0
余數(shù)的性質(zhì):
、儆鄶(shù)小于除數(shù)。
、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同,則c|a-b或c|b-a。
、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。
19、余數(shù)、同余與周期
一、同余的定義:
、偃魞蓚(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同,則稱a、b對(duì)于模m同余。
、谝阎齻(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。
二、同余的性質(zhì):
①自身性:a≡a(mod m);
、趯(duì)稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
、蹅鬟f性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí):
、偃鬉=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數(shù)特征:
、僖粋(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費(fèi)爾馬小定理:如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)),a是自然數(shù),且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
基本概念與性質(zhì):
分?jǐn)?shù):把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分?jǐn)?shù)的性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變。
分?jǐn)?shù)單位:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數(shù)。
百分?jǐn)?shù):表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。
常用方法:
①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。
、趯(duì)應(yīng)思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。
、坜D(zhuǎn)化思維方法:把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)(在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。
④假設(shè)思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立,計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果,然后再進(jìn)行調(diào)整,求出最后結(jié)果。
、萘坎蛔兯季S方法:在變化的各個(gè)量當(dāng)中,總有一個(gè)量是不變的,不論其他量如何變化,而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發(fā)生變化,總量不變。B、總量發(fā)生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化,但分量之間的差量不變化。
、尢鎿Q思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。
⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。
、酀舛扰浔确ǎ阂话銘(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。
21、分?jǐn)?shù)大小的比較
基本方法:
、偻ǚ址肿臃ǎ菏顾蟹?jǐn)?shù)的分子相同,根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。
、谕ǚ址帜阜ǎ菏顾蟹?jǐn)?shù)的分母相同,根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。
、刍鶞(zhǔn)數(shù)法:確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。
、芊肿雍头帜复笮”容^法:當(dāng)分子和分母的差一定時(shí),分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。
⑤倍率比較法:當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小,除了運(yùn)用以上方法外,可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律)
、揶D(zhuǎn)化比較方法:把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。
、弑稊(shù)比較法:用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù),結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。
⑧大小比較法:用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù),得出的數(shù)和0比較。
⑨倒數(shù)比較法:利用倒數(shù)比較大小,然后確定原數(shù)的大小。
、饣鶞(zhǔn)數(shù)比較法:確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù),每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。
23、完全平方數(shù)
完全平方數(shù)特征:
(1)末位數(shù)字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
(2)除以3余0或余1;反之不成立。
(3)除以4余0或余1;反之不成立。
(4)約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。
(5)奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
(6)奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。
(7)兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比:兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng),比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。
比值:比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商,叫做比值。
比的性質(zhì):比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(零除外),比值不變。
比例的性質(zhì):兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘),ad=bc。
正比例:若A擴(kuò)大或縮小幾倍,B也擴(kuò)大或縮小幾倍(AB的商不變時(shí)),則A與B成正比。
反比例:若A擴(kuò)大或縮小幾倍,B也縮小或擴(kuò)大幾倍(AB的積不變時(shí)),則A與B成反比。
比例尺:圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。
按比例分配:把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份,叫按比例分配。
25、綜合行程
基本概念:行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的,它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.
基本公式:路程=速度×時(shí)間;路程÷時(shí)間=速度;路程÷速度=時(shí)間
關(guān)鍵問(wèn)題:確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。
相遇問(wèn)題:速度和×相遇時(shí)間=相遇路程(請(qǐng)寫(xiě)出其他公式)
追及問(wèn)題:追及時(shí)間=路程差÷速度差(寫(xiě)出其他公式)
流水問(wèn)題:順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r(shí)間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時(shí)間
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
水 速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
流水問(wèn)題:關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度,參照以上公式。
過(guò)橋問(wèn)題:關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程,參照以上公式。
主要方法:畫(huà)線段圖法
基本題型:已知路程(相遇路程、追及路程)、時(shí)間(相遇時(shí)間、追及時(shí)間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個(gè)量,求第三個(gè)量。
26、工程問(wèn)題
基本公式:
①工作總量=工作效率×工作時(shí)間
、诠ぷ餍=工作總量÷工作時(shí)間
、酃ぷ鲿r(shí)間=工作總量÷工作效率
基本思路:
、偌僭O(shè)工作總量為“1”(和總工作量無(wú)關(guān));
、诩僭O(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)),利用上述三個(gè)基本關(guān)系,可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.
關(guān)鍵問(wèn)題:確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。
經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng):合久必分,分久必合。
27、邏輯推理
基本方法簡(jiǎn)介:
①條件分析-假設(shè)法:假設(shè)可能情況中的一種成立,然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷,如果有與題設(shè)條件矛盾的情況,說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的,那么與他的相反情況是成立的。例如,假設(shè)a是偶數(shù)成立,在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾,那么a一定是奇數(shù)。
、跅l件分析-列表法:當(dāng)題設(shè)條件比較多,需要多次假設(shè)才能完成時(shí),就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況,觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況,運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。
、蹢l件分析--圖表法:當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí),就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系,有連線則表示“是,有”等肯定的狀態(tài),沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài),有連線表示認(rèn)識(shí),沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。
④邏輯計(jì)算:在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外,還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。
⑤簡(jiǎn)單歸納與推理:根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù),分析其中存在的規(guī)律和方法,并從特殊情況推廣到一般情況,并遞推出相關(guān)的關(guān)系式,從而得到問(wèn)題的解決。
28、幾何面積
基本思路:
在一些面積的計(jì)算上,不能直接運(yùn)用公式的情況下,一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ),平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等,使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。
常用方法:
(1)連輔助線方法
(2)利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。
(3)大膽假設(shè)(有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn),解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上)。
(4)利用特殊規(guī)律
、俚妊苯侨切危阎我庖粭l邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對(duì)角線連線后,兩腰部分面積相等。
、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。
29、立體圖形
第五部分(知識(shí)點(diǎn)30-36)
30、時(shí)鐘問(wèn)題-快慢表問(wèn)題
基本思路:
(1)按照行程問(wèn)題中的思維方法解題;
(2)不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體;
(3)路程的單位是分格(表一周為60分格);
(4)時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間;
合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系;
31、時(shí)鐘問(wèn)題-鐘面追及
基本思路:封閉曲線上的追及問(wèn)題。
關(guān)鍵問(wèn)題:
、俅_定分針與時(shí)針的初始位置;
、诖_定分針與時(shí)針的路程差;
基本方法:
①分格方法:
時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格,每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格,即一周;而時(shí)針只走5分格,故分針每分鐘走1分格,時(shí)針每分鐘走1/12分格。
、诙葦(shù)方法:
從角度觀點(diǎn)看,鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度,即6°,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/(12*60) 度,即1/2度。
32、濃度與配比
經(jīng)驗(yàn)總結(jié):在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系,進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
溶質(zhì):溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質(zhì)。
溶劑:溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)(例如水、汽油等)叫溶劑。
溶液:溶質(zhì)和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液。
基本公式:
溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量;
溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度;
濃度=溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/(溶劑+溶質(zhì))×100%
理論部分小練習(xí):試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。
經(jīng)驗(yàn)總結(jié):在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系,進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
33、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題
利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=(賣價(jià)-成本)÷成本×100%;
賣價(jià)=成本×(1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
成本=賣價(jià)÷(1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定;
定價(jià)=成本×(1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
本金:儲(chǔ)蓄的金額;
利率:利息和本金的比;
利息=本金×利率×期數(shù);
含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×(1+增值稅稅率);
34、簡(jiǎn)單方程
代數(shù)式:用運(yùn)算符號(hào)(加減乘除)連接起來(lái)的字母或者數(shù)字。
方程:含有未知數(shù)的等式叫方程。
列方程:把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來(lái)。
列方程關(guān)鍵問(wèn)題:用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。
等式性質(zhì):等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù),等式不變;等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)(除0),等式不變。
移項(xiàng):把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊移到另一邊;
移項(xiàng)規(guī)則:先移加減,后變乘除;先去大括號(hào),再去中括號(hào),最后去小括號(hào)。
加去括號(hào)規(guī)則:在只有加減運(yùn)算的算式里,如果括號(hào)前面是“+”號(hào),則添、去括號(hào),括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變;如果括號(hào)前面是“-”號(hào),添、去括號(hào),括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變;括號(hào)里面的數(shù)前沒(méi)有“+”或“-”的,都按有“+”處理。
移項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題:運(yùn)用等式的性質(zhì),移項(xiàng)規(guī)則,加、去括號(hào)規(guī)則。
乘法分配率:a(b+c)=ab+ac
解方程步驟:①去分母;②去括號(hào);③移項(xiàng);④合并同類項(xiàng);⑤求解;
方程組:幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。
解方程組的步驟:①消元;②按一元一次方程步驟。
消元的方法:①加減消元;②代入消元。
35、不定方程
一次不定方程:含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;
常規(guī)方法:觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法;
多元不定方程:含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;
多元不定方程解法:根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值,或者消去一個(gè)未知數(shù),這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;
涉及知識(shí)點(diǎn):列方程、數(shù)的整除、大小比較;
解不定方程的步驟:①列方程;②消元;③寫(xiě)出表達(dá)式;④確定范圍;⑤確定特征;⑥確定答案;
技巧總結(jié):A、寫(xiě)出表達(dá)式的技巧:用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù),同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù);B、消元技巧:消掉范圍大的未知數(shù);
36、循環(huán)小數(shù)
一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則
①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù):將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子,分母的各位都是9,9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,最后能約分的再約分。
②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù):分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差,分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,末幾位是0,0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。
二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法:
、僖粋(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。
、谝粋(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。
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