小學奧數(shù)知識點積累

　　奧數(shù)對擇校來說是一道繞不過的坎，想要進入民辦牛校，奧數(shù)是非常重要的一環(huán)，禁止這么多年還是沒能禁掉，那就坦然面對吧。下面是小編整理的關于小學奧數(shù)知識點積累，希望大家認真閱讀!

　　01

　　和差倍問題

　　和差問題 和倍問題 差倍問題

　　已知條件 幾個數(shù)的和與差 幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

　　公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系

　　公式 ①(和-差)÷2=較小數(shù)

　　較小數(shù)+差=較大數(shù)

　　和-較小數(shù)=較大數(shù)

　�、�(和+差)÷2=較大數(shù)

　　較大數(shù)-差=較小數(shù)

　　和-較大數(shù)=較小數(shù)

　　和÷(倍數(shù)+1)=小數(shù)

　　小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

　　和-小數(shù)=大數(shù)

　　差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)

　　小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

　　小數(shù)+差=大數(shù)

　　關鍵問題 求出同一條件下的

　　和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)

　　02

　　年齡問題的三個基本特征

　　①兩個人的年齡差是不變的;

　�、趦蓚�人的年齡是同時增加或者同時減少的;

　�、蹆蓚�人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;

　　03

　　歸一問題的基本特點

　　問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

　　關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

　　04

　　植樹問題

　　基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹

　　基本公式 棵數(shù)=段數(shù)+1

　　棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)-1

　　棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)

　　棵距×段數(shù)=總長

　　關鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系

　　05

　　雞兔同籠問題

　　基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;

　　基本思路：

　�、偌僭O，即假設某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：

　�、诩僭O后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少;

　　③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因;

　　④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

　　基本公式：

　　①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))

　�、诎阉�有兔子假設成雞：兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))

　　關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

　　06

　　盈虧問題

　　基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?

　　基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.

　　基本題型：

　�、僖淮斡杏鄶�(shù)，另一次不足;

　　基本公式：總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

　�、诋攦纱味加杏鄶�(shù);

　　基本公式：總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

　�、郛攦纱味疾蛔�;

　　基本公式：總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

　　基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

　　關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

　　07

　　牛吃草問題

　　基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

　　基本特點：原草量和新草生長速度是不變的;

　　關鍵問題：確定兩個不變的量。

　　基本公式：

　　生長量=(較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù))÷(長時間-短時間);

　　總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;

　　08

　　周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

　　周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

　　周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

　　關鍵問題：確定循環(huán)周期。

　　閏 年：一年有366天;

　�、倌攴菽鼙�4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;

　　平 年：一年有365天。

　�、倌攴莶荒鼙�4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

　　09

　　平均數(shù)

　　基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

　　總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

　　總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

　�、谄骄鶖�(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)

　　基本算法：

　�、偾蟪隹倲�(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

　�、诨鶞蕯�(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù);以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關系見基本公式②。

　　10

　　抽屜原理

　　抽屜原則一：如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

　　例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

　�、�4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

　　觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

　　抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:

　�、賙=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時。

　�、趉=n/m個物體：當n能被m整除時。

　　理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

　　例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

　　關鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

　　11

　　定義新運算

　　基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。

　　基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

　　關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

　　注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

　�、诿總�新定義的運算符號只能在本題中使用。

　　12

　　數(shù)列求和

　　等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

　　基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;

　　項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;

　　公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示;

　　通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;

　　數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：通項公式：an = a1+(n-1)d;

　　通項=首項+(項數(shù)一1) 公差;

　　數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)n2;

　　數(shù)列和=(首項+末項)項數(shù)2;

　　項數(shù)公式：n= (an+ a1)d+1;

　　項數(shù)=(末項-首項)公差+1;

　　公差公式：d =(an-a1))(n-1);

　　公差=(末項-首項)(項數(shù)-1);

　　關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;

　　13

　　二進制及其應用

　　十進制：用0～9十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。

　　=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

　　注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

　　二進制：用0～1兩個數(shù)字表示，逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

　　(2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7

　　+……+A322+A221+A120

　　注意：An不是0就是1。

　　十進制化成二進制：

　　①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

　　②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。

　　14

　　加法乘法原理和幾何計數(shù)

　　加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。

　　關鍵問題：確定工作的分類方法。

　　基本特征：每一種方法都可完成任務。

　　乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。

　　關鍵問題：確定工作的完成步驟。

　　基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

　　直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

　　直線特點：沒有端點，沒有長度。

　　線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

　　線段特點：有兩個端點，有長度。

　　射線：把直線的一端無限延長。

　　射線特點：只有一個端點;沒有長度。

　�、贁�(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)一1);

　�、跀�(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);

　�、蹟�(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：

　�、軘�(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

　　15

　　質(zhì)數(shù)與合數(shù)

　　質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

　　合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

　　質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

　　分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

　　分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<><><><>

　　求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

　　互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

　　16

　　約數(shù)與倍數(shù)

　　約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

　　公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

　　最大公約數(shù)的性質(zhì)：

　　1、 幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

　　2、 幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

　　3、 幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

　　4、 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

　　例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

　　那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

　　那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作(12，18)=6;

　　求最大公約數(shù)基本方法：

　　1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

　　2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

　　3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

　　公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;

　　18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

　　那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;

　　那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36;

　　最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

　　1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

　　2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

　　求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

　　17

　　數(shù)的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;

　　二、整除判斷方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

　�、谄鏀�(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

　�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質(zhì)：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

　　18

　　余數(shù)及其應用

　　基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<><>

　　余數(shù)的性質(zhì)：

　�、儆鄶�(shù)小于除數(shù)。

　　②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

　�、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

　�、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

　　19

　　余數(shù)、同余與周期

　　一、同余的定義：

　�、偃魞蓚�整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質(zhì)：

　�、僮陨硇裕篴≡a(mod m);

　　②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);

　　③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);

　�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　�、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);

　�、咄�倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c);

　　三、關于乘方的預備知識：

　�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b

　�、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

　�、僖粋�自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或(mod 3);

　�、谝粋�自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

　　20

　　分數(shù)與百分數(shù)的應用

　　基本概念與性質(zhì)：

　　分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

　　分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。

　　分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

　　百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

　　常用方法：

　�、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。

　　②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

　�、坜D(zhuǎn)化思維方法：把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關系;把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　�、芗僭O思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

　�、萘坎蛔兯季S方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

　�、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化。

　�、咄�倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

　�、酀舛扰浔确ǎ阂话銘�用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

　　21

　　分數(shù)大小的比較

　　基本方法：

　�、偻ǚ址肿臃ǎ菏顾�有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。

　�、谕ǚ址帜阜ǎ菏顾�有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。

　�、刍鶞蕯�(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

　�、芊肿雍头帜复笮”容^法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

　�、荼堵时容^法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)

　�、揶D(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分數(shù)的值)后進行比較。

　�、弑稊�(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

　　⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

　�、岬箶�(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

　�、饣鶞蕯�(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

　　22

　　分數(shù)拆分

　　一、 將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

　�、� =+;

　　②=+(d為自然數(shù));

　　23

　　完全平方數(shù)

　　完全平方數(shù)特征：

　　1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

　　2. 除以3余0或余1;反之不成立。

　　3. 除以4余0或余1;反之不成立。

　　4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù);反之成立。

　　5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。

　　6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

　　7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

　　平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

　　完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

　　24

　　比和比例

　　比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

　　比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

　　比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。

　　比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

　　比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。

　　反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。

　　比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

　　按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

　　25

　　綜合行程

　　基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

　　基本公式：路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間

　　關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

　　相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)

　　追及問題：追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)

　　流水問題：順水行程=(船速+水速)×順水時間

　　逆水行程=(船速-水速)×逆水時間

　　順水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

　　水 速=(順水速度-逆水速度)÷2

　　流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

　　過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

　　主要方法：畫線段圖法

　　基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。

　　26

　　工程問題

　　基本公式：

　　①工作總量=工作效率×工作時間

　�、诠ぷ餍�率=工作總量÷工作時間

　�、酃ぷ鲿r間=工作總量÷工作效率

　　基本思路：

　　①假設工作總量為“1”(和總工作量無關);

　�、诩僭O一個方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù))，利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

　　關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

　　經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。

　　27

　　邏輯推理

　　基本方法簡介：

　　①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

　�、跅l件分析—列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

　�、蹢l件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

　�、苓壿嬘嬎悖涸谕评淼倪^程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

　�、莺唵螝w納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

　　28

　　幾何面積

　　基本思路：

　　在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

　　常用方法：

　　1. 連輔助線方法

　　2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。

　　3. 大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。

　　4. 利用特殊規(guī)律

　�、俚妊�直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)

　�、谔菪螌�角線連線后，兩腰部分面積相等。

　�、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。

　　29

　　立體圖形

　　長 方 體

　　8個頂點;6個面;相對的面相等;12條棱;相對的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh

　　正 方 體

　　8個頂點;6個面;所有面相等;12條棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3

　　圓柱體

　　上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開后是長方形; S=S側(cè)+2S底 S側(cè)=Ch V=Sh

　　圓錐體

　　下底是圓;只有一個頂點;l:母線，頂點到底圓周上任意一點的距離; S=S側(cè)+S底

　　S側(cè)=rl V=Sh

　　球體 圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3

　　30

　　時鐘問題—快慢表問題

　　基本思路：

　　1、 按照行程問題中的思維方法解題;

　　2、 不同的表當成速度不同的運動物體;

　　3、 路程的單位是分格(表一周為60分格);

　　4、 時間是標準表所經(jīng)過的時間;

　　合理利用行程問題中的比例關系;

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