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初中數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)歸納價(jià)值與應(yīng)用小議的論文
人類智慧攀升和有效的認(rèn)知活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)和理性的螺旋循環(huán)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外，然而數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)驗(yàn)歸納與理性思維既互相支持又矛盾對(duì)立，況且初中學(xué)生正處于經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯型思維過(guò)渡的階段，以致在具體教學(xué)中較難正確把握兩者的權(quán)重量綱，容易產(chǎn)生偏頗做法。因而充分認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)歸納與理性思維的關(guān)系，是完全必要的。也只有把握了它們之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，才能避免和糾正片面追求的行為。
一、經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)的價(jià)值
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活實(shí)際或動(dòng)手操作進(jìn)行有意義有目的的分析、探索，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗(yàn)歸納的方法尋求數(shù)學(xué)的事實(shí)性結(jié)論。主要有下述教育意義：
1、學(xué)生體驗(yàn)了經(jīng)驗(yàn)世界中數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，根據(jù)建構(gòu)主義的認(rèn)知觀點(diǎn)，是學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行意義建構(gòu)的有效途徑。不過(guò)這樣建構(gòu)的知識(shí)，僅具實(shí)證性，還不深刻，是淺層次的。
2、使學(xué)生得到歸納方法的學(xué)習(xí)。歸納方法被譽(yù)為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)研究，科學(xué)史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開(kāi)普勒在研究太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)十年觀察和計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，得到天體運(yùn)動(dòng)第三定律。孟德?tīng)枤w納八年的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，完成了《植物雜交試驗(yàn)》的偉大論著，為遺傳學(xué)作了科學(xué)奠基。在數(shù)學(xué)研究中，也常借助歸納作出猜想和判斷，著名的哥德巴赫猜想就是通過(guò)歸納得到的，又如對(duì)數(shù)由類比歸納得到。學(xué)習(xí)歸納方法也就是學(xué)習(xí)了科學(xué)研究的基本方法，對(duì)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力具有十分積極的意義。
3、通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的“情境”性體驗(yàn)，使得對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念有樸素的理解，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題解決中，經(jīng)常對(duì)某問(wèn)題的具體個(gè)別情形進(jìn)行考察、歸納，尋求解決問(wèn)題的策略和一般方法。
4、增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，由此增進(jìn)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，增進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力。
5、經(jīng)驗(yàn)歸納將數(shù)學(xué)與生活融洽，有利于增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是促進(jìn)自覺(jué)能動(dòng)的動(dòng)力，特別是通過(guò)歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時(shí)，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達(dá)到雖為其“勞苦”而感到樂(lè)的境界——樂(lè)此不疲。
正基于上述理由，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中凸顯經(jīng)驗(yàn)歸納教學(xué)，其意義是不言而喻的。但是，也應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。
二、歸納的正確正確應(yīng)用需要邏輯支持
在數(shù)學(xué)王國(guó)里，雖然數(shù)學(xué)的某些結(jié)論可由直覺(jué)和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無(wú)用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。(可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機(jī)器證明幾何命題，那是對(duì)證代數(shù)恒等式的一種應(yīng)用)。通常把直覺(jué)和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺(jué)和歸納往往會(huì)出錯(cuò)。例如：
1、判斷全體正自然數(shù)的個(gè)數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個(gè)數(shù)多?從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個(gè)，自然數(shù)有2個(gè)，偶數(shù)只有1個(gè)，于是得到正自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)個(gè)數(shù)的2倍;從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進(jìn)行考察，自然數(shù)99個(gè)，正偶數(shù)49個(gè)，個(gè)數(shù)的比值：99/49≈2。在1000以內(nèi)考察，兩者個(gè)數(shù)的比值：999/499≈2。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察……，可得兩者個(gè)數(shù)比值的極限是2,與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過(guò)超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，只要構(gòu)造函數(shù)M=2n,顯然值域與定義域有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，便知?dú)w納所得結(jié)論錯(cuò)誤。
2、“北師大教材八上1.1《勾股定理》中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關(guān)系，請(qǐng)你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系，結(jié)果大部分學(xué)生根據(jù)32 =4+5、52 =12+13，繼而得出錯(cuò)誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長(zhǎng)直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方�！盵1]
并且更多的事實(shí)猶如觀測(cè)水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學(xué)家開(kāi)普勒指出：“當(dāng)知識(shí)通過(guò)感官被直接提供給心靈時(shí)，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的�！� 所以對(duì)經(jīng)驗(yàn)得到的東西總要問(wèn)個(gè)為什么?總要有理性的思考。哲學(xué)家叔本華說(shuō)：“經(jīng)驗(yàn)從總體來(lái)講，是要從這種形而上學(xué)得到解釋的�！睎|漢哲學(xué)家王充說(shuō)：“是非者，不徒耳目，必開(kāi)心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺(jué)，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)命題必須有理論的證明。
實(shí)際上，人類在處理數(shù)學(xué)上理由不充足的結(jié)論時(shí)，總是小心謹(jǐn)慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬(wàn)次驗(yàn)證都是正確的，但由于沒(méi)有得到理論上的證明，人們還是叫它猜想而不叫定理。有時(shí)即使得到事實(shí)性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會(huì)用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無(wú)窮小量的處理不合理，就連當(dāng)時(shí)思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學(xué)說(shuō)的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。(微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年)。無(wú)數(shù)事例充分地反映了人類對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性所持態(tài)度是嚴(yán)肅、認(rèn)真的。
參考文獻(xiàn)：
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