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淺談現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)
1.“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，是我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重點(diǎn)。《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)�！边@意味著要求所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容必須是現(xiàn)實(shí)的。現(xiàn)實(shí)一詞，常常意味著“客觀現(xiàn)實(shí)”、“生活現(xiàn)實(shí)”。因此，許多闡述性的文字，就明確提出讓學(xué)生學(xué)習(xí)“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)":新一輪課程改革中，數(shù)學(xué)教學(xué)由關(guān)注學(xué)科知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注促進(jìn)人的全面發(fā)展。
當(dāng)前對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的要求也轉(zhuǎn)向工具性、實(shí)用性和生活化，要求充分展示數(shù)學(xué)問題的實(shí)際背景，突出數(shù)學(xué)與實(shí)踐的關(guān)系。也就是說，新的數(shù)學(xué)課改已經(jīng)改變過去的數(shù)學(xué)精英教育，轉(zhuǎn)而注重學(xué)生掌握現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)，注重形成學(xué)生各自的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。這里的“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”，實(shí)際上專指“工具性、實(shí)用性、生活化”，即數(shù)學(xué)教學(xué)要聯(lián)系的是“生活現(xiàn)實(shí)”。創(chuàng)設(shè)日常生活情景進(jìn)行教學(xué)，己經(jīng)形成一種風(fēng)氣。這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，掌握數(shù)學(xué)的來源，理解數(shù)學(xué)抽象的原型，很有好處。數(shù)學(xué)源于真實(shí)的現(xiàn)實(shí)之后，就會(huì)相對(duì)獨(dú)立地由內(nèi)部問題的驅(qū)動(dòng)進(jìn)行一段抽象的發(fā)展。與此相似，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過不斷地聯(lián)系日常生活現(xiàn)實(shí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用現(xiàn)實(shí)生活的需要理解數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)。然而，學(xué)生的頭腦里，不會(huì)停留在日常生活現(xiàn)實(shí)的范圍內(nèi)，而會(huì)相對(duì)獨(dú)立地、按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。
一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是“質(zhì)數(shù)”的概念。它不能源于任何日常生活，并非來自客觀現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)，而是數(shù)學(xué)內(nèi)部問題驅(qū)動(dòng)的結(jié)果。由此可以發(fā)展為龐大精致的數(shù)論學(xué)科，產(chǎn)生像歌德巴赫猜想那樣深刻的數(shù)學(xué)問題。從教學(xué)上看，當(dāng)學(xué)生構(gòu)建起“質(zhì)數(shù)”概念之后，我們才可以有質(zhì)因數(shù)分解，最小公倍數(shù)等概念的探究。如果強(qiáng)求數(shù)學(xué)必須是“現(xiàn)實(shí)的”，而且是生活化的現(xiàn)實(shí)，那么數(shù)學(xué)教學(xué)將難以順利進(jìn)行。
于是，關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的理念，需要作一些修正。在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂過程中，我們注意到“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的提法：
“學(xué)生的現(xiàn)實(shí)主要包含以下3個(gè)方面：（1）生活現(xiàn)實(shí)，（2）數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，（3）其它學(xué)科現(xiàn)實(shí)�！�
關(guān)于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的詮釋是：
“隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。這些現(xiàn)實(shí)應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的素材。選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
這一提法，在歷來的“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”和《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中都沒有出現(xiàn)過，因而是一個(gè)值得研究的新課題。
2.“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的界定就“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”這一名詞來說，我們并不陌生。20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)提出過“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”：“每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)�！边@個(gè)定義，比較全面地反映了“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的涵義，可以為我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂提供重要的參考。
“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”具有以下的特性：
首先，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)具有整體性。數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)�！皵�(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”包括己知的“知識(shí)”，還包括數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)規(guī)律的把握，數(shù)學(xué)抽象能力等。
其次，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)具有實(shí)踐性。“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是從數(shù)學(xué)角度觀察客觀世界，并進(jìn)行思考所獲得的知識(shí)內(nèi)容，因而縣有很強(qiáng)的實(shí)踐性質(zhì)。數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中有很大一部分是數(shù)學(xué)模型。例如“雞兔同籠”這樣的模型，在日常生活現(xiàn)實(shí)中是沒有的，它只能屬于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。把數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)僅僅理解為“形式化的、邏輯化的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是不正確的。
第三.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)具有個(gè)體性。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，按照他所生活的環(huán)境，是一個(gè)屬于學(xué)生個(gè)體的、變化的、發(fā)展的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。這當(dāng)然和學(xué)生的個(gè)體有關(guān)。在個(gè)別指導(dǎo)時(shí)，當(dāng)然要符合該學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。
3.運(yùn)用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，最容易想到的是復(fù)習(xí)舊課，用己知數(shù)學(xué)知識(shí)為新課做鋪墊。但是，我們還應(yīng)該有更深入的探索。
案例方程概念方程概念的教學(xué)程序通常是導(dǎo)入、定義、舉例辨認(rèn)、練習(xí)、總結(jié)，給人的感覺是過于表面化處理。甚至讓學(xué)生背誦“含有未知數(shù)的等式叫方程”，這樣的定義缺乏數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的支撐，不知道為什么要研究它，好像是“天上掉下來”的。如果聯(lián)系“學(xué)生現(xiàn)實(shí)”，則情況將大有改觀。
我們把方程理解為：“為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和己知數(shù)之間建立的等式關(guān)系�！庇谑�，可以在以下層面進(jìn)行聯(lián)系。
生活現(xiàn)實(shí)層面：己知、未知、關(guān)系，都是普通名詞。其中，關(guān)系是關(guān)鍵詞。
概念性數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)：用等式形容關(guān)系。相等是關(guān)鍵詞。
思想方法型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)：通過等式把己知、未知聯(lián)系起來，目的是為了找出未知數(shù)。這和請(qǐng)熟人介紹認(rèn)識(shí)新朋友的道理一樣。
程序型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)：式的運(yùn)算規(guī)則，施行同解變換，求得未知數(shù)。
豐富數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)：中外其它相關(guān)歷史故事、外星人聯(lián)系使用的信息等，讓學(xué)生全面地感受定理的意義，欣賞勾股定理的美學(xué)價(jià)值，使學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)豐滿起來。
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