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基于“一題多解”與“變式”的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課案例
復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)是為了鞏固和加深所學(xué)知識(shí)，使知識(shí)系統(tǒng)化;使學(xué)生在掌握復(fù)習(xí)內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、運(yùn)用知識(shí)的能力和終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣。長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐使我們體會(huì)到：無(wú)論是基礎(chǔ)教學(xué)，還是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)都不能在同一水平上簡(jiǎn)單重復(fù)，更不能使學(xué)生成為解題機(jī)器和知識(shí)的存儲(chǔ)器;練不在多，而在于精，因此，恰當(dāng)適量地采用“一題多解”與“變式”教學(xué)，進(jìn)行多角度的解題思路分析，探討解題規(guī)律和解題方法與技巧，對(duì)學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高解題技能，發(fā)展邏輯思維，提高分析問題與解決問題的能力，勢(shì)必事半功倍。
下面展示筆者一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課案例，以資交流。
1、展示問題。引入課題(2009年浙江卷的第l7題)如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)�，F(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD上平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK.LAB，K為垂足。
2、探討解法�？偨Y(jié)規(guī)律“兒童的智慧在他們的指尖上。”心理學(xué)實(shí)驗(yàn)也證明：認(rèn)知的發(fā)生和發(fā)展是通過人的活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。因此，解題時(shí)要結(jié)合題中情節(jié)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些操作活動(dòng)，讓學(xué)生在真實(shí)、具體的操作情境中豐富感知，在身臨其境中得到啟發(fā)，激活思維，從而探求其解法。
學(xué)生動(dòng)手操作，折紙實(shí)驗(yàn)。
(1)直觀感知：當(dāng)沿對(duì)角線AC折起時(shí)，點(diǎn) 離點(diǎn)A最近，此刻AK最短;隨著點(diǎn)，逐漸向點(diǎn)E靠近，K離點(diǎn)A越來越遠(yuǎn)，AK也越來越長(zhǎng);(2)確認(rèn)范圍：當(dāng)AAFD沿AE折起時(shí)，點(diǎn) 即為AB的中點(diǎn)日;當(dāng)AAFD沿AC折起時(shí)，AABD ACBD且AAHD為正三角形，故 為AH的中點(diǎn)。
綜合(1)，(2)，得÷< <1.在上面的活動(dòng)中，雖然學(xué)生從“感性”上升到“理性”的認(rèn)識(shí)過程中解決了問題，但筆者認(rèn)為，這只是對(duì)于解題“一時(shí)之難”的權(quán)宜之計(jì)，不利于學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)提高。因此，師生有必要再探討問題的其他解法，并總結(jié)解題要點(diǎn)。
分析1 當(dāng)點(diǎn)，確定時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)折疊以后的立體圖也隨之確定，若令DF=x，則1 <2，且t可以表示成關(guān)于 的函數(shù)，再求出函數(shù)的值域，即可得到t的取值范圍。
解法1 由題意可知，二面角D枷一C是直二面角，又DK_LAB，所以 上平面ABC，作KG上AF于G，連接DG，則DG上AF，故在折疊前，D，G，K三點(diǎn)共線，因此問題又可回歸到平面圖形之中，設(shè)DF= ，則1< <2，在RtaADF和RtAKAD中，/ADK=/GAK=LAFD點(diǎn)評(píng)解決本題的關(guān)鍵是目標(biāo)函數(shù)的建立，如何把t表示成關(guān)于 的函數(shù)，即如何得到關(guān)于 和t的方程;由于折疊前后僅僅是ADAF與四邊形ABCF的相對(duì)位置發(fā)生了變化，因此 和t的大小在折疊前后是不變的，上述解法的可取之處是在找關(guān)于 和t的方程時(shí)，回歸到平面圖形中解題。
3、轉(zhuǎn)換視角。優(yōu)化解法每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的先天生理遺傳與認(rèn)知基礎(chǔ)及思維方式。這種認(rèn)知差異不可避免地影響到個(gè)體的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在新知建構(gòu)和解決問題的過程中，表現(xiàn)為從不同角度進(jìn)行分析、思考，由此產(chǎn)生不同的算法。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出“由于學(xué)生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多樣化的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化”。因此，算法多樣化、一題多解是尊重學(xué)生個(gè)體差異的必然結(jié)果。
問題是否還有其他的解決途徑?一部分學(xué)生從不同的視角看這個(gè)問題，得到幾種新解法：
分析2 注意到立體圖形中，DK上平面ABC，因此可以點(diǎn) 為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法解之。
分析3 由于LFAB的大小確定時(shí)，點(diǎn)F也隨之確定，折疊后的立體圖形也確定了，因此也可以選擇 FAB為目標(biāo)函數(shù)的變量，仍通過求目標(biāo)函數(shù)的值域解題。
點(diǎn)評(píng)本解法之所以比前面給出的解法簡(jiǎn)單，其主要原因是我們選擇了一個(gè)“好的變量”。通常情況下，在用目標(biāo)函數(shù)法解立體幾何范圍問題時(shí)，選擇角的大小為變量比選擇線段長(zhǎng)為變量要簡(jiǎn)捷一些。
求異思維和求同思維是對(duì)立統(tǒng)一的，引導(dǎo)學(xué)生從個(gè)別現(xiàn)象中探索共同規(guī)律，概括出解題的一般方法相當(dāng)重要，這樣才能達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的“舉一反三”、“融會(huì)貫通”的“營(yíng)養(yǎng)價(jià)值”功效，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力;但在數(shù)學(xué)教學(xué)中有些教師常常忽視了教學(xué)中的歸納概括，孤立地看待多解中的各種解法，從而使學(xué)生的思維滯留在感性階段，不能產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。
解題小結(jié)綜觀以上解法，可以發(fā)現(xiàn)它們的共同之處：運(yùn)用函數(shù)思想將一個(gè)量表示為另一個(gè)量的函數(shù)關(guān)系，有變量就有函數(shù)，函數(shù)思想為我們提供解決問題的一個(gè)“切人點(diǎn)”。正如一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家所言，“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。
“一題多解”是從數(shù)學(xué)知識(shí)的各種不同角度，運(yùn)用不同的思維方法去解決同一個(gè)問題。因此所涉及的知識(shí)、方法、思想較單一，方法解題更廣、更靈活。隨著學(xué)生的思維逐步深入，馬上又有學(xué)生通過構(gòu)造法補(bǔ)形，凸顯問題本質(zhì)，課堂因變化的奧妙而推向精彩的高潮。
分析4 根據(jù)條件中的面面垂直的性質(zhì)特征，可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體。利用AABD的邊AB，AD為定值，確定四棱錐D-ABCF的頂點(diǎn)D的軌跡，以求t的取值范圍。
解法4 依題意，平面ABD上平面ABC，將四棱錐D—ABCF補(bǔ)形成長(zhǎng)方體ABCD2-AlB1C。D。，如圖3.因?yàn)辄c(diǎn)D在平面。
4、順?biāo)浦邸U(kuò)大戰(zhàn)果數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵不是記住結(jié)論，而是經(jīng)歷探究的過程，感受數(shù)學(xué)的研究方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提高，只有在運(yùn)用通性通法進(jìn)行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學(xué)，有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使思維在所學(xué)知識(shí)中游刃有余，順暢飛翔。我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)，的位置確定時(shí)，立體圖形也完全確定了，所以立體圖形中的一些幾何量的取值范圍也是確定的，因此我們可以通過“復(fù)制”原問題的解法求解一些立體圖中的幾何量的范圍問題。
5、改變條件。多方探究因材施教是課堂教學(xué)永遠(yuǎn)要堅(jiān)持的原則。恰當(dāng)合理的變式，有助于學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的“最佳動(dòng)機(jī)”和激發(fā)靈感，升華思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。如果在教學(xué)中為教而變，隨意地設(shè)置變式問題，那么不但會(huì)干擾課堂講授的“主干”知識(shí)，而且會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，起事倍功半的效果。變式教學(xué)的變式一定要限制在學(xué)生水平的“最近發(fā)展區(qū)”，而且變式后的題目，其內(nèi)容必須是非本質(zhì)的變化。變式教學(xué)要循序漸進(jìn)，要有梯度，要抓住學(xué)生的思維發(fā)展趨勢(shì)，否則就會(huì)使學(xué)生不適應(yīng)，影響問題的解決，降低學(xué)習(xí)的效率。那么原題是否還有“可持續(xù)開發(fā)”的可行性呢?
若改變?cè)}的條件，把題設(shè)改為：“如圖4，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)。現(xiàn)將AAFD沿AF折起，使二面角D一 一日為直二面角”，請(qǐng)你能設(shè)計(jì)出幾個(gè)立體幾何廣口j題并給出解答(下面是學(xué)生給出的一些問題及解答)。
6、教后總結(jié)目前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)存在著一些問題：老師講解多，學(xué)生思考少;一問一答多，探究交流少;操練記憶多，鼓勵(lì)創(chuàng)新少;強(qiáng)求一致多，發(fā)展個(gè)性少;照本宣科多，智力活動(dòng)少;顯性內(nèi)容多，隱性內(nèi)容少;應(yīng)付任務(wù)多，精神樂趣少等等。不言而喻，復(fù)習(xí)的主體是學(xué)生，因而復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)充分考慮學(xué)生的知識(shí)能力狀況。在這一點(diǎn)上，我們要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情，充分信任其在知識(shí)學(xué)習(xí)中的能力，放手讓他們?cè)囍ミ\(yùn)用知識(shí)，試著對(duì)試題進(jìn)行變式;在師生充分而有質(zhì)量的對(duì)話互動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生興趣、激活學(xué)生思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，使復(fù)習(xí)教學(xué)收到事半功倍的效果。
復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力互為手段與目標(biāo)，我們切不可將著力點(diǎn)放在知識(shí)傳授上，應(yīng)著力于由知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化過程，而“一題多解”是學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化與提升的一個(gè)重要手段，能夠促進(jìn)學(xué)生智慧的生成。對(duì)一個(gè)問題多角度深入研究的過程，無(wú)論是自主探索還是博采眾長(zhǎng)，由于思考的多角度，思維方法的活躍，解題經(jīng)驗(yàn)的豐富，最優(yōu)化的選取都會(huì)促使學(xué)生知不足而明差距，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力和學(xué)習(xí)興趣，逐步形成刻苦鉆研與交流的學(xué)風(fēng)，這正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)要看到的效果之一。
總之，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上重題目訓(xùn)練而忽視思維鍛煉是最不可取的。學(xué)生在做題的過程中雖然也在進(jìn)行思維訓(xùn)練，但那只是學(xué)生自我調(diào)控下的訓(xùn)練，是一種缺少指向與引導(dǎo)而近于盲目的訓(xùn)練;而教師精心指導(dǎo)下的復(fù)習(xí)，方向性明確，能形成師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的動(dòng)態(tài)訓(xùn)練場(chǎng)。
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