2017大學(xué)數(shù)學(xué)論文范文
由于特殊函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一種重要工具，因此特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用非常重要。但是特殊函數(shù)往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。下面是小編整理的關(guān)于幾類特殊函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用的數(shù)學(xué)論文范文，歡迎大家閱讀。
幾類特殊函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【摘要】本文將對(duì)數(shù)學(xué)分析中特殊函數(shù)，諸如伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)貝塞爾函數(shù)等超幾何數(shù)列函數(shù)，具有特殊的性質(zhì)和特點(diǎn)，在現(xiàn)實(shí)中得到大量的運(yùn)用的函數(shù)。本文主要以簡(jiǎn)單介紹以上三種特殊函數(shù)性質(zhì)，及其在其它領(lǐng)域的應(yīng)用，諸如利用特殊函數(shù)求積分，利用特殊函數(shù)解相關(guān)物理學(xué)問(wèn)題。本文首先以回顧學(xué)習(xí)幾類常見(jiàn)特殊函數(shù)概念、性質(zhì)，從而加深讀者理解，然后以相關(guān)實(shí)例進(jìn)行具體分析，從而達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。
【關(guān)鍵詞】特殊函數(shù);性質(zhì);應(yīng)用;伽馬函數(shù);貝塔函數(shù);貝塞爾函數(shù);積分
1.引言
特殊函數(shù)是指一些具有特定性質(zhì)的函數(shù)，一般有約定俗成的名稱和記號(hào)，例如伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等。它們?cè)跀?shù)學(xué)分析、泛函分析、物理研究、工程應(yīng)用中有著舉足輕重的地位。許多特殊函數(shù)是微分方程的解或基本函數(shù)的積分，因此積分表中常常會(huì)出現(xiàn)特殊函數(shù)，特殊函數(shù)的定義中也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)積分。傳統(tǒng)上對(duì)特殊函數(shù)的分析主要基于對(duì)其的數(shù)值展開(kāi)基礎(chǔ)上。隨著電子計(jì)算的發(fā)展，這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)開(kāi)創(chuàng)了新的研究方法。
由于特殊函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一種重要工具，因此特殊函數(shù)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用非常重要。本文歸納出特殊函數(shù)性質(zhì)、利用特殊函數(shù)在求積分運(yùn)算中的應(yīng)用、特殊函數(shù)在物理學(xué)科方面的應(yīng)用，利用Matlab軟件畫(huà)出一些特殊函數(shù)的圖形，主要包含內(nèi)容有：定義性質(zhì)學(xué)習(xí)，作積分運(yùn)算，物理知識(shí)中的應(yīng)用，并結(jié)合具體例題進(jìn)行了詳細(xì)的探究和證明。
特殊函數(shù)定義及性質(zhì)證明
特殊函數(shù)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)分析的一大難點(diǎn),又是一大重點(diǎn),求特殊函數(shù)包含很多知識(shí)點(diǎn),有很多技巧,教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生以探究學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行歸納、總結(jié);一方面可提高學(xué)生求函數(shù)極限的技能、技巧;另一方面也可培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸類的能力,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)、思考習(xí)慣,很有益處。
特殊函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)及其相關(guān)計(jì)算，由于題型多變，方法多樣，技巧性強(qiáng)，加上無(wú)固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。解決這個(gè)問(wèn)題的途徑主要在于熟練掌握特殊函數(shù)的特性和一些基本方法。下面結(jié)合具體例題來(lái)探究特殊函數(shù)相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用。
2.伽馬函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
2.1.1伽馬函數(shù)的定義：
伽馬函數(shù)通常定義是：這個(gè)定義只適用于的區(qū)域，因?yàn)檫@是積分在t=0處收斂的條件。已知函數(shù)的定義域是區(qū)間，下面討論Г函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。
2.1.2Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。
事實(shí)上，已知假積分與無(wú)窮積分都收斂，則無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂。而被積函數(shù)在區(qū)間D連續(xù)。Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。于是，Г函數(shù)在點(diǎn)z連續(xù)。因?yàn)閦是區(qū)間任意一點(diǎn)，所以Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。
2.1.3，伽馬函數(shù)的遞推公式
此關(guān)系可由原定義式換部積分法證明如下：
這說(shuō)明在z為正整數(shù)n時(shí)，就是階乘。
由公式(4)看出是一半純函數(shù)，在有限區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)都是一階極點(diǎn)，極點(diǎn)為z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函數(shù)求積分
2.2貝塔函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
2.2.1貝塔函數(shù)的定義：
函數(shù)稱為B函數(shù)(貝塔函數(shù))。
已知的定義域是區(qū)域，下面討論的三個(gè)性質(zhì)：
貝塔函數(shù)的性質(zhì)
2.2.2對(duì)稱性：=。事實(shí)上，設(shè)有
2.2.3遞推公式：，有事實(shí)上，由分部積分公式，，有
即
由對(duì)稱性，
特別地，逐次應(yīng)用遞推公式，有
而，即
當(dāng)時(shí)，有
此公式表明，盡管B函數(shù)與Г函數(shù)的定義在形式上沒(méi)有關(guān)系，但它們之間卻有著內(nèi)在的聯(lián)系。這個(gè)公式可推廣為
2.2.4
由上式得以下幾個(gè)簡(jiǎn)單公式：
2.2.5用貝塔函數(shù)求積分
例2.2.1
解：設(shè)有
(因是偶函數(shù))
例2.2.2貝塔函數(shù)在重積分中的應(yīng)用
計(jì)算，其中是由及這三條直線所圍成的閉區(qū)域，
解：作變換且這個(gè)變換將區(qū)域映照成正方形：。于是
通過(guò)在計(jì)算過(guò)程中使用函數(shù)，使得用一般方法求原函數(shù)較難的問(wèn)題得以輕松解決。
2.3貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
2.3.1貝塞爾函數(shù)的定義
貝塞爾函數(shù)：二階系數(shù)線性常微分方程稱為λ階的貝塞爾方程，其中y是x的未知函數(shù)，λ是任一實(shí)數(shù)。
2.3.2貝塞爾函數(shù)的遞推公式
在式(5)、(6)中消去則得式3，消去則得式4
特別，當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，由式(3)和(4)得：
以此類推，可知當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，可由和表示。
又因?yàn)?/p>
以此類推，可知也可用和表示。所以當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，和都可由和表示。
2.3.3為半奇數(shù)貝塞爾函數(shù)是初等函數(shù)
證：由Г函數(shù)的性質(zhì)知
由遞推公式知
一般，有
其中表示n個(gè)算符的連續(xù)作用，例如
由以上關(guān)系可見(jiàn)，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)(n為正整數(shù))都是初等函數(shù)。
2.3.4貝塞爾函數(shù)在物理學(xué)科的應(yīng)用：
頻譜有限函數(shù)新的快速收斂的取樣定理，.根據(jù)具體問(wèn)題，利用卷積的方法還可以調(diào)節(jié)收斂速度，達(dá)到預(yù)期效果，并且計(jì)算亦不太復(fù)雜。由一個(gè)函數(shù)的離散取樣值重建該函數(shù)的取樣定理是通信技術(shù)中必不可少的工具，令
稱為的Fourier變換。它的逆變換是
若存在一個(gè)正數(shù)b，當(dāng)是b頻譜有限的。對(duì)于此類函數(shù)，只要取樣間隔，則有離散取樣值(這里z表示一切整數(shù)：0,)可以重建函數(shù)，
這就是Shannon取樣定理。Shannon取樣定理中的母函數(shù)是
由于Shannon取樣定理收斂速度不夠快，若當(dāng)這時(shí)允許的最大取樣間隔特征函數(shù)Fourier變換：
以下取樣方法把貝塞爾函數(shù)引進(jìn)取樣定理，其特點(diǎn)是收斂速度快，且可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題調(diào)節(jié)收斂速度，這樣就可以由不太多的取樣值較為精確地確定函數(shù)。
首先建立取樣定理
設(shè)：
其中是零階貝塞爾函數(shù)。構(gòu)造函數(shù)：
令
經(jīng)計(jì)算：
利用分部積分法，并考慮到所以的Fourier變換。
通過(guò)函數(shù)卷積法，可加快收斂速度，使依據(jù)具體問(wèn)題，適當(dāng)選取N，以達(dá)到預(yù)期效果，此種可調(diào)節(jié)的取樣定理，計(jì)算量沒(méi)有增加很多。�。�
類似地
經(jīng)計(jì)算：
經(jīng)計(jì)算得：
則有：設(shè)是的Fourier變換，
記則由離散取樣值
因?yàn)�，故該取樣定理收斂速度加快是不言而喻的，通過(guò)比較得，計(jì)算量并沒(méi)有加大，而且N可控制收斂速度。
例2.4，利用
引理：當(dāng)
當(dāng)
因?yàn)椴荒苡贸醯群瘮?shù)表示，所以在求定積分的值時(shí)，牛頓-萊布尼茨公式不能使用，故使用如下計(jì)算公式
首先證明函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，在區(qū)間上傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：
(1)
其中
函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：
則關(guān)于冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由階修正貝塞爾函數(shù)
其中函數(shù)，且當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，取，則(3)可化為
(4)
通過(guò)(1)(4)比較系數(shù)得
又由被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以
公式得證。
3.結(jié)束語(yǔ)
本文是關(guān)于特殊函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)及其相關(guān)計(jì)算的探討，通過(guò)對(duì)特殊函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)及其相關(guān)計(jì)算的歸納可以更好的掌握特殊函數(shù)在日常學(xué)習(xí)中遇到相關(guān)交叉學(xué)科時(shí)應(yīng)用，并且針對(duì)不同的實(shí)例能夠應(yīng)用不同的特殊函數(shù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明、計(jì)算，從而更加簡(jiǎn)潔，更加合理的利用特殊函數(shù)求解相關(guān)問(wèn)題。有些特殊函數(shù)的應(yīng)用不是固定的，它可以通過(guò)不止一種方法來(lái)證明和計(jì)算，解題時(shí)應(yīng)通過(guò)觀察題目結(jié)構(gòu)和類型，選用一種最簡(jiǎn)捷的方法來(lái)解題。
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