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  • 格點(diǎn)與面積習(xí)題講解

    時(shí)間:2023-03-16 19:09:58 奧數(shù)知識 我要投稿
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    格點(diǎn)與面積習(xí)題講解

      國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽是國際中學(xué)生數(shù)學(xué)大賽,在世界上影響非常之大。下面是小編整理的關(guān)于格點(diǎn)與面積習(xí)題講解的相關(guān)介紹內(nèi)容,歡迎大家參考。

      如下圖,在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上,如果任意相鄰平行線之間的距離都相等,我們就把這樣兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)(如下圖中的紅點(diǎn)),把圖中相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離看著一個(gè)單位長度,把每個(gè)小正方形的面積看作一個(gè)面積單位(如圖中帶陰影的方格)。

      一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn),這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形,本講就,學(xué)習(xí)求格點(diǎn)多邊形的面積問題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便,一般有三種 方法:①規(guī)則的格點(diǎn)多邊形,可以運(yùn)用多邊形的面積公式求出面積;②一些簡單而又特殊的格點(diǎn)多邊形,可以通過數(shù)格子求出面積;③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形,一般用 皮克公式計(jì)算。其中數(shù)格子的方法比較原始,很少用。

      任意格點(diǎn)多邊形,只要數(shù)出多邊形周界上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)及圖內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù),就可用下面的皮克公式算出面積:

      格點(diǎn)多邊形面積=圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1

      這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的,被稱為“皮克定理”,這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。

      皮克定理的證明:

      將格點(diǎn)圖中的每個(gè)點(diǎn)看作以這個(gè)點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分;而在多邊 形邊界上的點(diǎn)對應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個(gè)多邊形,且多邊形每個(gè)角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個(gè)圓,少了其外角對應(yīng)的扇形面積,因任意多邊形的外角和 是360度,正好是個(gè)整圓,所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為:周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1

      所以格點(diǎn)多邊形面積為:圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1。

      皮克定理的證明過程比較抽象,孩子難以理解。本講只要求孩子初步認(rèn)識格點(diǎn)面積公式,掌握格點(diǎn)面積公式的應(yīng)用,到初中還會進(jìn)一步學(xué)習(xí)皮克定理。

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