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小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法
雞兔同籠，是中國古代著名典型趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。以下是小編整理的小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法，希望對(duì)大家有所幫助。
小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法
“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的典型數(shù)學(xué)趣題之一，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。其大意是說：籠子里有雞和兔若干，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只?
我們現(xiàn)在把數(shù)量變小一點(diǎn)：籠子里有雞和兔若干，從上面數(shù)，有12個(gè)頭，從下面數(shù)，有38只腳。雞和兔各有幾只?
先讓孩子明確幾個(gè)名稱：每只兔有4只腳，腳只數(shù)要多一些，我們把它(兔)定為“多”量;每只雞只有2只腳，腳只數(shù)要少一些，我們把它(雞)定為“少”量;每只兔比每只雞多2只腳(4-2)，我們把它(4-2)定為“差”。
一、猜測法
先猜測，再驗(yàn)證，逐一排除，這種方法實(shí)用性不大。
二、列舉法
列舉法可一一列舉、跳躍列舉，也可對(duì)半列舉，關(guān)鍵在于逐步調(diào)整，以達(dá)到題意的要求，操作時(shí)若數(shù)據(jù)較大時(shí)過程頗為繁瑣，比較費(fèi)時(shí)，目的性也不強(qiáng)，在此不加贅述。
三、假設(shè)法
假設(shè)法也就是先假設(shè)全部是其中的某一種(雞或兔)，算出腳的只數(shù)，看比實(shí)際腳的總只數(shù)是多了還是少了，由于一只兔比一只雞多(4-2)只腳，再用多余或不足的腳只數(shù)除以“差”(4-2)就是另一種的只數(shù)。具體算法是：
1、假設(shè)全部都是“多”量(兔)：
多余的腳只數(shù)÷“差”=“少”量(雞)
例如，假設(shè)全部都是兔，就有腳4×12=48(只)，比實(shí)際腳的總只數(shù)多出了48-38=10(只)，則雞有10÷(4-2)=5(只)。兔的只數(shù)就是12-5=7(只)。
2、假設(shè)全部都是“少”量(雞)：
不足的腳只數(shù)÷“差”=“多”量(兔)
例如，假設(shè)全部都是雞，就有腳2×12=24(只)，比實(shí)際腳的總只數(shù)少了38-24=14(只)，則兔有14÷(4-2)=7(只)。雞的只數(shù)就是12-7=5(只)。
四、方程法
方程法是最適用，也是最具一般性的解答方法，這種方法思路清晰，易于理解。具體方法是：設(shè)甲有x只，則乙有a-x只。根據(jù)等量關(guān)系“雞腳總數(shù)+兔腳總數(shù)=腳的總只數(shù)”就可列出方程進(jìn)行解答。
如：
1、解：設(shè)雞有x只，則兔有12-x只。
2x+4×(12-x)=38
x =5
兔有12-5=7(只)。
2、解：設(shè)兔有x只，則雞有12-x只。
4x+2×(12-x)=38
x =7
雞有12-7=5(只)。
在方程法中，為了避免像方法1的解方程過程中出現(xiàn)“2x+48-4x=38 ”小學(xué)生應(yīng)用現(xiàn)在小學(xué)知識(shí)還難以理解的知識(shí)問題，在幫助學(xué)生理解后，可建議學(xué)生像方法2那樣設(shè)“多”的(兔)為x，就可避免出現(xiàn)像“2x-4x”這樣的問題。
五、“抬腿法”(減半法)
“抬腿法”是我們的祖先解決“雞兔同籠”問題的經(jīng)典方法，體現(xiàn)了我們祖先的聰明才智。其算理是：假如每只雞都抬起一條腿(“金雞獨(dú)立”)，同時(shí)每只兔也都抬起兩條腿(蹲著)，各抬起一半腿，則總腿數(shù)減半，此時(shí)一只雞一條腿，而有一只兔就多一條腿，所以腿總數(shù)÷2-頭數(shù)=“多”量(兔)
如上面例題，38÷2=19(只)，19-12=7(只)(兔)。
孩子一嘗試，可能很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法最簡便、快捷，但在以后的訓(xùn)練中要讓學(xué)生體會(huì)到，“抬腿法”僅適用于典型的“雞兔同籠”問題(或“龜鶴問題”)，而對(duì)于植樹、租船等“雞兔同籠”的變式問題并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。
六、對(duì)半分法
據(jù)我對(duì)“雞兔同籠”問題的理解，用“對(duì)半分法”來解決“雞兔同籠”問題也很適用。先假設(shè)雞和兔(即“多”量和“少”量)各占一半，算出此時(shí)腳的全部只數(shù)，如果超過腳的總只數(shù)，說明“多”量(兔)多了，如果不夠腳的總只數(shù)，說明“多”量(兔)少了;再用超過或不足部分除以腳只數(shù)“差”(4-2)就是兔多出或少的只數(shù)，然后用“一半”減去或加上多出或少的只數(shù)，就是兔的只數(shù)。
如上面例題，先假設(shè)各有12÷2=6(只)，此時(shí)共有腳4×6+2×6=36(只)，不足總數(shù)38只，說明兔少了，少了(38-36)÷(4-2)=1(只)，所以兔有6+1=7(只)。同理，雞有6-1=5(只)。
再如前面“雞兔同籠”的原題：有35個(gè)頭，共94只腳。先假設(shè)各有35÷2=17.5(只)，此時(shí)共有腳4×17.5+2×17.5=105(只)，超過總數(shù)94只，說明兔多了，多了(105-94)÷(4-2)=5.5(只)，所以兔有17.5-5.5=12(只)。同理，雞有17.5+5.5=23(只)。
“雞兔同籠”問題的解題方法有多種，孩子進(jìn)入中學(xué)后，隨著知識(shí)面的擴(kuò)展，將會(huì)學(xué)到其它不同的解法。
奧數(shù)題“雞兔同籠”新解法
1、同一個(gè)籠子里養(yǎng)著雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？
解決“雞兔同籠”的常用方法有以下幾種：畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法，今天我向你們推薦一種新的解題方法：“抬腿法”。
解析：我們?cè)O(shè)想一下，籠子里的雞和兔子都非常聽話，你吹一次口哨，每只雞和兔子就抬起一條腿，你一共吹兩次口哨，雞和兔子都抬起兩條腿，這時(shí)，雞坐在地上，兔子像人一樣有兩條腿站著，地上只有244-88×2=68條腿，都是兔子的腿，每只兔子都有兩條腿，共有68÷2=34只兔子，
有雞88-34=54只。
2、“雞兔同籠”，雞、兔共有107只，兔子的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多56只，問：雞、兔各有多少只？
解析：學(xué)生做這道題時(shí)常用方程來解決，今天，我向你們推薦一種方法：“補(bǔ)腳法”。
因?yàn)殡u的腳比兔子的腳少56只，如果把雞的腳補(bǔ)上56只的話，那么就要增加56÷2=28（只）雞，這樣，雞、兔共有107+28=135（只），雞腳、兔腳一樣多，雞的只數(shù)就是兔子的2倍。
兔：135÷（2+1）=45（只）
雞：135－45－28=62（只）
3、雞兔同籠，雞比兔多12只，共有腳114只，求雞、兔各有幾只？
解析：解決這道題，我們可以用“補(bǔ)頭法”。
因?yàn)殡u比兔子多12只，如果把兔子補(bǔ)上12個(gè)頭的話，就要多出12×4=48條腿，這樣一共有114+48=162條腿，雞頭和兔頭一樣多，我們把一只雞和一只兔子兩個(gè)一組分開，每組里共有腳6只，一共可以分162÷6=27組，就有27只雞，兔子有27-12=15只。
“雞兔同籠”問題的解法
一、假設(shè)法
假設(shè)法又可分為幾種，一種是假設(shè)籠子中全部都是雞，一種是假設(shè)籠子中全部都是兔，還有一種就是《孫子算經(jīng)》中所用的抬腿法（也就是假設(shè)所有的雞和兔都抬起一只腿）。
1、假設(shè)籠子中的動(dòng)物全部都是雞
因?yàn)槊恐浑u有2只腳，地上的腳的總數(shù)應(yīng)該就是35 × 2 = 70只；但實(shí)際上腳的總數(shù)并不是70，而是94，多出了94 - 70 = 24只腳。
為什么會(huì)多出24只腳呢？
因?yàn)榛\子中除了雞外，還有兔子，每只兔子有4只腳，比每只雞要多2只腳，現(xiàn)在總共多了24只腳，要多少兔子才能比雞多24只腳呢？我們就要用多出的這24只腳除以每只兔子比雞多出的2只腳，24 ÷ 2 = 12只，也就是說，籠子中兔子的數(shù)量就是12只。
雞的數(shù)量就等于總數(shù)量35只減去兔子的數(shù)量12只，35 - 12= 23只。
現(xiàn)在我們來檢查一下計(jì)算的結(jié)果，用兔子的數(shù)量乘以每只兔子有4只腳，加上雞的數(shù)量乘以每只雞的2只腳，看看腳的總數(shù)是不是94只。
12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94
結(jié)果吻合，說明我們的計(jì)算是正確的。
2、假設(shè)籠子中的動(dòng)物全部都是兔子
因?yàn)槊恐煌米佑?只腳，所以，腳的總數(shù)應(yīng)該是35 × 4 = 140只，但實(shí)際上腳的總數(shù)只有94只，實(shí)際比假設(shè)的情況，少了140 - 94 = 46只腳。
為什么會(huì)少46只腳？
因?yàn)榛\子中并不全都是兔子，還有雞，每只雞只有2只腳，比兔子的4只腳要少2只腳，現(xiàn)在總共少了46只腳，要多少只雞才能少46只腳呢？我們就要用少的這46只腳除以每只雞比兔子少的2只腳，46 ÷ 2 = 23只，也就是說，籠子中雞的數(shù)量是23只。
3、抬腿法
這種方法與第一種假設(shè)法的原理是一樣的，在教材中也有詳細(xì)的講解，這里就不再講解。
二、方程解法
我們?cè)賮砜捶匠探夥ǎ匠桃灿袃煞N解法，可以用小學(xué)五年級(jí)的一元一次方程來解，也可以用初中的二元一次方程組來解，這里我們著重講一元一次方程的解法。
這道題需要求兩個(gè)未知數(shù)，分別是兔子的數(shù)量與雞的數(shù)量，我們可以設(shè)其中任意一個(gè)未知數(shù)為X。
1、設(shè)雞的數(shù)量為X
則兔子的數(shù)量為35-X
每只雞有2只腳，雞腳的總數(shù)可表示為2X
每只兔有4只腳，兔腳的總數(shù)可表示為(35-X)x4
所有腳的總數(shù)可表示為2X+(35-X)x4
因?yàn)槟_的總數(shù)為94只
所以2X+(35-X)x4=94
2X+140-4X=94
2X=140-94
2X=46
X=23
雞的數(shù)量為23只。
兔的數(shù)量為35-23=12只。
2、二元一次方程組
具體解法是：設(shè)雞的總數(shù)為X，兔的總數(shù)為Y。
X + Y = 35 2X + 4Y = 94
X = 35 - Y 2(35 - Y) + 4Y = 94
70 - 2Y + 4Y = 94
70 + 2Y = 94
2Y = 24
Y = 12
X = 35 - 12
X = 23
最終解出來的結(jié)果就是，X = 23，Y = 12。
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