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  • 小學奧數(shù)輔導:雞兔同籠問題與假設法

    時間:2024-10-23 04:30:26 奧數(shù)知識 我要投稿
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    小學奧數(shù)輔導:雞兔同籠問題與假設法

      雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的,它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題,都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。

      例1 小紅家的雞與兔關在同一個籠子里,數(shù)頭有16個,數(shù)腳有44只。問:小紅家的雞與兔各有多少只?

      分析:假設16只都是雞,那么就應該有2×16=32(只)腳,但實際上有44只腳,比假設的情況多了44-32=12(只)腳,出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞,那么每換一只,頭的數(shù)目不變,腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2,就可以求出兔的只數(shù)。

      解:有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只),

      有雞16-6=10(只)。

      答:有6只兔,10只雞。

      當然,我們也可以假設16只都是兔子,那么就應該有4×16=64(只)腳,但實際上有44只腳,比假設的情況少了64-44=20(只)腳,這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔,每換一只,頭的數(shù)目不變,腳數(shù)減少了4-2=2(只)。因此只要算出20里面有幾個2,就可以求出雞的只數(shù)。

      有雞(4×16-44)÷(4-2)=10(只),

      有兔16——10=6(只)。

      由例1看出,解答雞兔同籠問題通常采用假設法,可以先假設都是雞,然后以兔換雞;也可以先假設都是兔,然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

      例2 今有100個和尚140個饃,大和尚1人分3個饃,小和尚1人分1個饃。問:大、小和尚各有多少個?

      分析與解:本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔,饃看作腿,那么就成了雞兔同籠問題,可以用假設法來解。

      假設100人全是大和尚,那么共需饃300個,比實際多300-140=160(個),F(xiàn)在以小和尚去換大和尚,每換一個總人數(shù)不變,而饃就要減少3——1=2(個),因為160÷2=80,故小和尚有80人,大和尚有

      100-80=20(人)。

      同樣,也可以假設100人都是小和尚,同學們不妨自己試試。

      在下面的例題中,我們只給出一種假設方法。

      例3 得力文化用品商行出售“得力”牌文化用品每套19元,“藍天”牌文化用品每套11元,這兩種文化用品共買了16套,用錢280元。問:兩種文化用品各買了多少套?

      分析與解:我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳,一種“怪兔”有1個頭19只腳,它們共有16個頭,280只腳。這樣,就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。

      假設買了16套“得力”文化用品,則共需19×16=304(元),比實際多304——280=24(元),現(xiàn)在用“藍天”文化用品去換“得力”文化用品,每換一套少用19——11=8(元),所以

      買“藍天”文化用品 24÷8=3(套),

      買“得力”文化用品 16-3=13(套)。

      例4 雞、兔共100只,雞腳比兔腳多20只。問:雞、兔各多少只?

      分析:假設100只都是雞,沒有兔,那么就有雞腳200只,而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只,而實際上只多20只,這說明假設的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180(只)。

      現(xiàn)在以兔換雞,每換一只,雞腳減少2只,兔腳增加4只,即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4+2=6(只),而180÷6=30,因此有兔子30只,雞100——30=70(只)。

      解:有兔(2×100——20)÷(2+4)=30(只),

      有雞100——30=70(只)。

      答:有雞70只,兔30只。

      一、例題精講:

      例1 現(xiàn)有大、小油瓶共50個,每個大瓶可裝油4千克,每個小瓶可裝油2千克,大瓶比小瓶共多裝20千克。問:大、小瓶各有多少個?

      解:小瓶有(4×50-20)÷(4+2)=30(個),

      大瓶有50-30=20(個)。

      答:有大瓶20個,小瓶30個。

      例2 一批鋼材,用小卡車裝載要45輛,用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸,那么這批鋼材有多少噸?

      分析:要算出這批鋼材有多少噸,需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

      利用假設法,假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材,因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸,所以要剩下4×36=144(噸)。根據(jù)條件,要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9(輛)小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9=16(噸)。由此可求出這批鋼材有多少噸。

      解:4×36÷(45-36)×45=720(噸)。

      答:這批鋼材有720噸。

      例3 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶,雙方商定每只運費0.24元,但如果發(fā)生損壞,那么每打破一只不僅不給運費,而且還要賠償1.26元,結果搬運站共得運費115.5元。問:搬運過程中共打破了幾只花瓶?

      分析:假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破,那么應得運費0.24×500=120(元)。實際上只得到115.5元,少得120-115.5=4.5(元)。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。

      解:(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。

      答:共打破3只花瓶。

      例4 小樂與小喜一起跳繩,小喜先跳了2分鐘,然后兩人各跳了3分鐘,一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下,那么小喜比小樂共多跳了多少下?

      分析與解:利用假設法,假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣,那么兩人跳的總數(shù)減少了

      12×(2+3)=60(下)。

      可求出小樂每分鐘跳

      (780—60)÷(2+3+3)=90(下),

      小樂一共跳了90×3=270(下),因此小喜比小樂共多跳

      780—270×2=240(下)。

      二、考練:

      1.雞、兔共有頭100個,腳350只,雞、兔各有多少只?

      2.學校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120個學生進行活動。問:象棋與跳棋各有多少副?

      3.班級購買活頁簿與日記本合計32本,花錢74元;铐摬久勘1.9元,日記本每本3.1元。問:買活頁簿、日記本各幾本?

      4.龜、鶴共有100個頭,鶴腿比龜腿多20只。問:龜、鶴各幾只?

      5.小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角,明信片每張2元5角。問:賀年卡、明信片各買了幾張?

      6.一個工人植樹,晴天每天植樹20棵,雨天每天植樹12棵,他接連幾天共植樹112棵,平均每天植樹14棵。問:這幾天中共有幾個雨天?

      7.振興小學六年級舉行數(shù)學競賽,共有20道試題。做對一題得5分,沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分,那么他做對了幾道題?

      8.有一批水果,用大筐80只可裝運完,用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克,那么這批水果有多少千克?

      9.蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對翅膀,蟬有6條腿和1對翅膀,F(xiàn)有三種小蟲共18只,有118條腿和20對翅膀。問:每種小蟲各有幾只?

      10.雞、兔共有腳100只,若將雞換成兔,兔換成雞,則共有腳92只。問:雞、兔各幾只?

      三、考練參考答案:

      1.兔75只,雞25只。

      2.象棋9副,跳棋17副。

      3.活頁簿21本,日記本11本。

      4.30只龜,70只鶴。

      5.賀年卡5張,明信片9張。

      6.6天。 7.15道。

      8.4800千克。

      解:[(80×20)÷(120-80)]×120=4800(千克)。

      9.5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬。

      提示:把小蟲分成8條腿與6條腿兩種,先求出蜘蛛的數(shù)。

      10.兔18只,雞14只。

      解:由于雞換成兔,兔換成雞,腳的只數(shù)少了8只,故原來的兔比雞多4只。減去這4只兔,則雞、兔一樣多,并且共有腳100-4×4=84(只),所以,

      雞有84÷(4+2)=14(只),

      兔有14+4=18(只)。

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